➕ Operações com Matrizes
Matriz A
3 × 3
linhas
colunas
[]
Matriz B
3 × 3
linhas
colunas
[]
🔍 Propriedades de uma Matriz
Matriz A
3 × 3
linhas
colunas
[]
📊 Sistemas de Equações Lineares (Ax = b)
Equações:
3
↗️ Operações com Vetores
Vetor u
3D
Vetor v
3D
📖 Referência de Álgebra Linear
Propriedades de Matrizes
Transposta: (Aᵀ)ᵀ = A | (A+B)ᵀ = Aᵀ+Bᵀ | (AB)ᵀ = BᵀAᵀ
Inversa: AA⁻¹ = A⁻¹A = I | (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹ | (Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ
Determinante: det(AB) = det(A)·det(B) | det(Aᵀ) = det(A) | det(kA) = kⁿ·det(A)
Traço: tr(A+B) = tr(A)+tr(B) | tr(AB) = tr(BA) | tr(Aᵀ) = tr(A)
Posto: rank(A) + nulidade(A) = n (Teorema do Núcleo e Imagem)
Inversa: AA⁻¹ = A⁻¹A = I | (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹ | (Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ
Determinante: det(AB) = det(A)·det(B) | det(Aᵀ) = det(A) | det(kA) = kⁿ·det(A)
Traço: tr(A+B) = tr(A)+tr(B) | tr(AB) = tr(BA) | tr(Aᵀ) = tr(A)
Posto: rank(A) + nulidade(A) = n (Teorema do Núcleo e Imagem)
Tipos de Matrizes
Quadrada: n×n linhas e colunas
Identidade (I): diagonal = 1, resto = 0
Simétrica: A = Aᵀ (aᵢⱼ = aⱼᵢ)
Anti-simétrica: A = −Aᵀ (aᵢⱼ = −aⱼᵢ)
Ortogonal: AAᵀ = I (A⁻¹ = Aᵀ)
Diagonal: aᵢⱼ = 0 para i ≠ j
Singular: det(A) = 0 (não tem inversa)
Identidade (I): diagonal = 1, resto = 0
Simétrica: A = Aᵀ (aᵢⱼ = aⱼᵢ)
Anti-simétrica: A = −Aᵀ (aᵢⱼ = −aⱼᵢ)
Ortogonal: AAᵀ = I (A⁻¹ = Aᵀ)
Diagonal: aᵢⱼ = 0 para i ≠ j
Singular: det(A) = 0 (não tem inversa)
Determinantes
2×2: det = ad − bc
3×3 (Sarrus): det = a(ei−fh) − b(di−fg) + c(dh−eg)
Expansão de Laplace: det(A) = Σ aᵢⱼ · Cᵢⱼ (por qualquer linha/coluna)
Cofator: Cᵢⱼ = (−1)^(i+j) · Mᵢⱼ
3×3 (Sarrus): det = a(ei−fh) − b(di−fg) + c(dh−eg)
Expansão de Laplace: det(A) = Σ aᵢⱼ · Cᵢⱼ (por qualquer linha/coluna)
Cofator: Cᵢⱼ = (−1)^(i+j) · Mᵢⱼ
Vetores
Módulo: ‖u‖ = √(u₁²+u₂²+...+uₙ²)
Produto escalar: u·v = u₁v₁+...+uₙvₙ = ‖u‖‖v‖cos(θ)
Produto vetorial (3D): u×v = (u₂v₃−u₃v₂, u₃v₁−u₁v₃, u₁v₂−u₂v₁)
Ângulo: cos(θ) = (u·v)/(‖u‖·‖v‖)
Projeção: proj_v(u) = (u·v/‖v‖²)·v
Produto escalar: u·v = u₁v₁+...+uₙvₙ = ‖u‖‖v‖cos(θ)
Produto vetorial (3D): u×v = (u₂v₃−u₃v₂, u₃v₁−u₁v₃, u₁v₂−u₂v₁)
Ângulo: cos(θ) = (u·v)/(‖u‖·‖v‖)
Projeção: proj_v(u) = (u·v/‖v‖²)·v
Sistemas Lineares
Cramer: x = det(Aₓ)/det(A), y = det(Aᵧ)/det(A)
Gauss: Eliminação para forma triangular + substituição regressiva
Gauss-Jordan: Reduz matriz aumentada à forma identidade
Condições: det(A)≠0 → solução única | det(A)=0 → sem solução ou ∞
Gauss: Eliminação para forma triangular + substituição regressiva
Gauss-Jordan: Reduz matriz aumentada à forma identidade
Condições: det(A)≠0 → solução única | det(A)=0 → sem solução ou ∞