Geometria Analítica
A Geometria Analítica é a área da matemática que une álgebra e geometria por meio de um sistema de coordenadas. Ela permite estudar posições, distâncias, equações de retas, circunferências e outras figuras usando expressões algébricas. É uma ferramenta essencial em física, engenharia, computação gráfica, navegação e em praticamente todas as ciências exatas.
1. O Plano Cartesiano
O plano cartesiano é formado por dois eixos perpendiculares:
- Eixo x — horizontal;
- Eixo y — vertical;
- Origem — ponto onde os eixos se cruzam: \((0,0)\).
1.1 Quadrantes
O plano é dividido em quatro quadrantes numerados no sentido anti-horário:
- 1º Quadrante: \(x > 0\) e \(y > 0\)
- 2º Quadrante: \(x < 0\) e \(y > 0\)
- 3º Quadrante: \(x < 0\) e \(y < 0\)
- 4º Quadrante: \(x > 0\) e \(y < 0\)
2. Distância entre Dois Pontos
Dados dois pontos \(A(x_1, y_1)\) e \(B(x_2, y_2)\), a distância entre eles é:
\[ d(A,B) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]Exemplo
\(d = \sqrt{(7-2)^2 + (9-3)^2} = \sqrt{25 + 36} = \sqrt{61}\).
3. Ponto Médio
O ponto médio do segmento que liga \(A(x_1, y_1)\) a \(B(x_2, y_2)\) é:
\[ M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2},\ \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \]Exemplo
4. Divisão Interna de Segmento
Se um ponto \(P\) divide o segmento \(AB\) na razão \(m:n\), então:
\[ P = \left( \frac{mx_2 + nx_1}{m+n},\ \frac{my_2 + ny_1}{m+n} \right) \]5. Equação da Reta
A reta pode ser representada de várias formas. As mais importantes são:
5.1 — Forma Geral
\[ ax + by + c = 0 \]5.2 — Forma Reduzida
\[ y = mx + n \]- m: coeficiente angular (inclinação da reta);
- n: coeficiente linear (ponto onde a reta corta o eixo y).
5.3 — Coeficiente Angular
\[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]5.4 — Condições de Paralelismo e Perpendicularidade
- Retas paralelas: \(m_1 = m_2\)
- Retas perpendiculares: \(m_1 \cdot m_2 = -1\)
Exemplo — Encontrando a equação da reta
\(m = \frac{8-2}{4-1} = 2\). Usando \(y = mx + n\): \(2 = 2\cdot1 + n \Rightarrow n = 0\).
Equação: \(y = 2x\).
6. Ângulo entre Duas Retas
Se duas retas têm coeficientes angulares \(m_1\) e \(m_2\), então o ângulo entre elas é:
\[ \tan\theta = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right| \]7. Circunferência
A circunferência de centro \(C(h,k)\) e raio \(r\) é dada por:
\[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \]7.1 — Forma Geral
\[ x^2 + y^2 + ax + by + c = 0 \]Exemplo
\((x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 16\).
8. Distância de um Ponto a uma Reta
Para um ponto \(P(x_0, y_0)\) e uma reta \(ax + by + c = 0\):
\[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \]9. Área de um Triângulo no Plano
Dados três pontos \(A(x_1, y_1)\), \(B(x_2, y_2)\) e \(C(x_3, y_3)\):
\[ A = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| \]10. Vetores no Plano
Um vetor no plano é representado por:
\[ \vec{v} = (x_2 - x_1,\ y_2 - y_1) \]10.1 — Módulo do vetor
\[ |\vec{v}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]10.2 — Produto Escalar
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = u_x v_x + u_y v_y \]10.3 — Ângulo entre vetores
\[ \cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|} \]11. Exercícios Propostos
- Calcule a distância entre os pontos \(A(3,4)\) e \(B(-1,7)\).
- Determine o ponto médio entre \(A(2,-3)\) e \(B(8,5)\).
- Encontre a equação da reta que passa pelos pontos \(A(1,2)\) e \(B(4,6)\).
- Determine a equação da circunferência de centro \(C(3,1)\) e raio \(4\).
- Calcule a distância do ponto \(P(2,3)\) à reta \(3x - 4y + 1 = 0\).
- Classifique o triângulo formado pelos pontos \(A(0,0)\), \(B(4,0)\) e \(C(4,3)\).
- Determine o ângulo entre as retas \(y = 2x + 1\) e \(y = -\frac{1}{2}x + 3\).
- Calcule o produto escalar entre os vetores \(\vec{u} = (3, -1)\) e \(\vec{v} = (2, 4)\).
Na próxima etapa, estudaremos as cônicas (parábola, elipse e hipérbole), aprofundando ainda mais a Geometria Analítica e suas aplicações.