Sistemas Lineares e Determinantes

Sistemas lineares são conjuntos de equações que envolvem incógnitas de primeira ordem. Eles aparecem em problemas de física, economia, engenharia, química e em praticamente todas as áreas científicas. Neste capítulo, estudaremos métodos de resolução, classificação, determinantes e aplicações.

1. O que é um Sistema Linear?

Um sistema linear é um conjunto de equações do tipo:

\[ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} \]

2. Classificação de Sistemas

  • SPD — Sistema Possível e Determinado: possui uma única solução.
  • SPI — Sistema Possível e Indeterminado: possui infinitas soluções.
  • SI — Sistema Impossível: não possui solução.

3. Métodos de Resolução

3.1 Substituição

Isola-se uma variável e substitui-se na outra equação.

3.2 Adição

Somam-se as equações para eliminar uma variável.

3.3 Escalonamento

Transformamos o sistema em outro equivalente, mais simples, até chegar a uma forma triangular.

4. Regra de Cramer

Para sistemas SPD, a solução pode ser encontrada usando determinantes.

4.1 Sistema 2×2

\[ x = \frac{D_x}{D}, \quad y = \frac{D_y}{D} \]

4.2 Sistema 3×3

Usa-se determinantes maiores.

5. Determinantes

5.1 Determinante 2×2

\[ D = ad - bc \]

5.2 Determinante 3×3

Regra de Sarrus.

6. Matriz Aumentada

Representa o sistema em forma matricial:

\[ [A|B] \]

7. Sistemas 3×3

Podem ser resolvidos por substituição, adição, escalonamento ou Cramer.

8. Exercícios Resolvidos

Exemplo 1 — Método da Adição

\[ \begin{cases} 2x + y = 5 \\ 3x - y = 4 \end{cases} \] Somando: \(5x = 9 \Rightarrow x = \frac{9}{5}\). Substituindo: \(2\cdot\frac{9}{5} + y = 5 \Rightarrow y = \frac{7}{5}\).

Exemplo 2 — Regra de Cramer

\[ \begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x - y = 4 \end{cases} \] \(D = -7\), \(D_x = -13\), \(D_y = -11\). \[ x = \frac{-13}{-7}, \quad y = \frac{-11}{-7} \]

9. Exercícios Propostos

  1. Resolva um sistema 2×2 pelo método da adição.
  2. Resolva um sistema 2×2 pela Regra de Cramer.
  3. Classifique um sistema como SPD, SPI ou SI.
  4. Resolva um sistema 3×3 por escalonamento.
  5. Calcule os determinantes necessários para resolver um sistema 3×3.

10. Revisão do Capítulo

  • Sistemas lineares podem ter uma, infinitas ou nenhuma solução.
  • Determinantes são essenciais para Cramer e inversas.
  • Escalonamento é um método universal.

11. Glossário

  • Determinante: número associado a matrizes quadradas.
  • Matriz Aumentada: representação matricial do sistema.
  • Escalonamento: processo de simplificação.
  • Cramer: método baseado em determinantes.