Um Sistema Linear é um conjunto de equações lineares relacionadas, onde buscamos valores para as variáveis que satisfaçam todas as equações simultaneamente. Eles são resolvidos de forma eficiente utilizando a teoria das matrizes.
Uma equação linear com $n$ variáveis é toda equação da forma: $$ a_1x_1 + a_2x_2 + \dots + a_nx_n = b $$ Onde $x_1, x_2, \dots, x_n$ são as variáveis, $a_1, a_2, \dots, a_n$ são os coeficientes (números reais) e $b$ é o termo independente.
Um Sistema Linear de ordem $m \times n$ é um conjunto de $m$ equações lineares e $n$ variáveis.
$$ \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \dots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases} $$Qualquer sistema linear pode ser escrito na forma de uma equação matricial simples:
$$ A \cdot X = B $$ Onde:Pode ser escrito como:
$$ \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 1 \end{pmatrix} $$A **Matriz Ampliada** é a matriz dos coeficientes acrescida da coluna dos termos independentes. É usada em métodos de resolução como o Escalonamento. $$ [A \mid B] $$
Um sistema linear pode ser classificado de acordo com o número de soluções que possui:
| Tipo de Sistema | Abreviação | Número de Soluções |
|---|---|---|
| Sistema Possível e Determinado | SPD | **Uma única** solução. |
| Sistema Possível e Indeterminado | SPI | **Infinitas** soluções. |
| Sistema Impossível | SI | **Nenhuma** solução. |
O Escalonamento (ou eliminação de Gauss) utiliza as operações elementares (trocar linhas, multiplicar linha por escalar, somar linhas) na matriz ampliada do sistema para transformá-la em uma **matriz triangular superior**. Isso simplifica a resolução por substituição retroativa.
A Regra de Cramer é aplicável apenas a sistemas em que o número de equações é igual ao número de variáveis (matriz dos coeficientes é quadrada). A solução é encontrada através de determinantes:
$$ x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)} $$Onde $\det(A)$ é o determinante da matriz dos coeficientes e $\det(A_i)$ é o determinante da matriz $A$ com a coluna $i$ substituída pela matriz $B$ (termos independentes). **Se $\det(A) \neq 0$, o sistema é SPD.**
A matriz dos coeficientes do sistema $\begin{cases} x - 2y + z = 5 \\ 3x + y = 0 \\ 4y - z = 2 \end{cases}$ é:
A matriz dos coeficientes $A$ é formada pelos números que multiplicam as variáveis $x, y, z$. Na terceira linha, o termo em $x$ é 0.
$$ \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 4 & -1 \end{pmatrix} $$Resposta Correta: A.
Pela Regra de Cramer, se o determinante da matriz dos coeficientes é $\det(A) = 0$, o sistema pode ser classificado como:
A Regra de Cramer define que o sistema é SPD se $\det(A) \neq 0$. Se $\det(A) = 0$, o sistema não é SPD. Ele será SI (se pelo menos um $\det(A_i) \neq 0$) ou SPI (se todos $\det(A_i)$ e $\det(A)$ forem zero).
Resposta Correta: D.