Questões de Vestibular - Combinatória e Probabilidade
1. Quantos números de 3 algarismos distintos podem ser formados com os dígitos 1, 2, 3, 4 e 5?
Solução Detalhada:
Para formar um número de 3 algarismos distintos, temos:
- Para o 1º algarismo: 5 opções (1, 2, 3, 4, 5)
- Para o 2º algarismo: 4 opções (pois deve ser distinto do 1º)
- Para o 3º algarismo: 3 opções (pois deve ser distinto do 1º e do 2º)
Pelo Princípio Fundamental da Contagem, o total de números é $5 \times 4 \times 3 = 60$.
Isso também pode ser calculado como um arranjo de 5 elementos tomados 3 a 3: $A_{5,3} = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2!}{2!} = 60$.
Alternativa Correta: (C)
2. De quantas maneiras 5 pessoas podem se sentar em 5 cadeiras enfileiradas?
Solução Detalhada:
Trata-se de uma permutação simples de 5 elementos, pois a ordem importa e todos os elementos são usados.
$P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.
Alternativa Correta: (D)
3. Em uma turma de 10 alunos, quantas comissões de 3 alunos podem ser formadas?
Solução Detalhada:
Como a ordem dos alunos na comissão não importa, trata-se de uma combinação simples.
$C_{10,3} = \binom{10}{3} = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7!}{3 \times 2 \times 1 \times 7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{6} = 10 \times 3 \times 4 = 120$.
Alternativa Correta: (B)
4. Qual a probabilidade de, ao lançar um dado honesto, obter um número par?
Solução Detalhada:
O espaço amostral de um dado honesto é $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, então $n(S) = 6$.
O evento de obter um número par é $E = \{2, 4, 6\}$, então $n(E) = 3$.
A probabilidade é $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
Alternativa Correta: (A)
5. Em um baralho de 52 cartas, qual a probabilidade de retirar uma carta de copas?
Solução Detalhada:
Um baralho de 52 cartas possui 4 naipes (copas, ouros, paus, espadas), e cada naipe tem 13 cartas.
O número total de resultados possíveis é 52.
O número de resultados favoráveis (cartas de copas) é 13.
A probabilidade é $P = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$.
Alternativa Correta: (C)
6. Quantos anagramas da palavra AMOR existem?
Solução Detalhada:
A palavra AMOR tem 4 letras distintas. O número de anagramas é dado pela permutação de 4 elementos.
$P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.
Alternativa Correta: (B)
7. Em um grupo de 7 homens e 5 mulheres, quantas comissões de 3 homens e 2 mulheres podem ser formadas?
Solução Detalhada:
O número de maneiras de escolher 3 homens de 7 é $C_{7,3} = \binom{7}{3} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$.
O número de maneiras de escolher 2 mulheres de 5 é $C_{5,2} = \binom{5}{2} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$.
Pelo Princípio Fundamental da Contagem, o total de comissões é $35 \times 10 = 350$.
Alternativa Correta: (A)
8. Qual a probabilidade de, ao lançar duas moedas, obter duas caras?
Solução Detalhada:
O espaço amostral ao lançar duas moedas é $S = \{(C,C), (C,K), (K,C), (K,K)\}$, onde C é cara e K é coroa. Então $n(S) = 4$.
O evento de obter duas caras é $E = \{(C,C)\}$, então $n(E) = 1$.
A probabilidade é $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{1}{4}$.
Alternativa Correta: (C)
9. Em uma urna há 5 bolas azuis e 3 bolas vermelhas. Qual a probabilidade de retirar uma bola azul?
Solução Detalhada:
O número total de bolas na urna é $5 + 3 = 8$.
O número de bolas azuis é 5.
A probabilidade de retirar uma bola azul é $P = \frac{\text{número de bolas azuis}}{\text{total de bolas}} = \frac{5}{8}$.
Alternativa Correta: (A)
10. Quantos são os resultados possíveis ao lançar 3 dados honestos?
Solução Detalhada:
Cada dado tem 6 faces. Ao lançar 3 dados, o número total de resultados é $6 \times 6 \times 6 = 6^3 = 216$.
Alternativa Correta: (B)
11. Quantos anagramas da palavra ARARA existem?
Solução Detalhada:
A palavra ARARA tem 5 letras, com repetições: A (3 vezes), R (2 vezes).
O número de anagramas é dado pela permutação com repetição: $P_n^{n_1, n_2, \dots, n_k} = \frac{n!}{n_1!n_2!\dots n_k!}$.
$P_5^{3,2} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4 \times 3!}{3! \times 2 \times 1} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$.
Alternativa Correta: (C)
12. Em um sorteio, há 10 números e são sorteados 3. Qual a probabilidade de acertar os 3 números sorteados, em qualquer ordem?
Solução Detalhada:
O número total de combinações possíveis de 3 números de 10 é $C_{10,3} = \binom{10}{3} = \frac{10!}{3!7!} = 120$.
Há apenas 1 combinação de 3 números que está correta.
A probabilidade é $P = \frac{1}{120}$.
Alternativa Correta: (A)
13. Uma moeda é lançada 4 vezes. Qual a probabilidade de obter exatamente 2 caras?
Solução Detalhada:
O número total de resultados ao lançar uma moeda 4 vezes é $2^4 = 16$.
O número de maneiras de obter exatamente 2 caras em 4 lançamentos é dado pela combinação $C_{4,2} = \binom{4}{2} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$.
Os resultados são (CCKK, CKCK, CKKC, KCCK, KCKC, KKCC).
A probabilidade é $P = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$.
Alternativa Correta: (B)
14. Quantos números de 4 algarismos distintos podem ser formados com os dígitos 0, 1, 2, 3, 4 e 5?
Solução Detalhada:
Para o 1º algarismo (milhar): não pode ser 0, então temos 5 opções (1, 2, 3, 4, 5).
Para o 2º algarismo (centena): 5 opções (o 0 pode ser usado agora, e um algarismo já foi usado).
Para o 3º algarismo (dezena): 4 opções.
Para o 4º algarismo (unidade): 3 opções.
Total de números: $5 \times 5 \times 4 \times 3 = 300$.
Alternativa Correta: (A)
15. Em uma caixa há 10 bolas numeradas de 1 a 10. Retira-se uma bola ao acaso. Qual a probabilidade de ser um número primo?
Solução Detalhada:
O espaço amostral é $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$, então $n(S) = 10$.
Os números primos entre 1 e 10 são $E = \{2, 3, 5, 7\}$, então $n(E) = 4$.
A probabilidade é $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
Alternativa Correta: (B)
16. Quantos são os gabaritos possíveis para uma prova de 5 questões de múltipla escolha com 4 alternativas cada?
Solução Detalhada:
Para cada questão, há 4 alternativas. Como são 5 questões, o número total de gabaritos é $4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 = 4^5 = 1024$.
Alternativa Correta: (D)
17. Qual a probabilidade de, ao lançar um dado duas vezes, a soma dos resultados ser 7?
Solução Detalhada:
O espaço amostral ao lançar dois dados é $6 \times 6 = 36$.
Os pares que somam 7 são: $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$. Há 6 resultados favoráveis.
A probabilidade é $P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
Alternativa Correta: (C)
18. Em uma fila com 6 pessoas, sendo 3 homens e 3 mulheres, de quantas maneiras eles podem se organizar se os homens e as mulheres devem se alternar?
Solução Detalhada:
Existem duas configurações possíveis: H M H M H M ou M H M H M H.
Para a configuração H M H M H M:
- Os 3 homens podem se permutar de $3! = 6$ maneiras.
- As 3 mulheres podem se permutar de $3! = 6$ maneiras.
- Total: $6 \times 6 = 36$.
Para a configuração M H M H M H:
- As 3 mulheres podem se permutar de $3! = 6$ maneiras.
- Os 3 homens podem se permutar de $3! = 6$ maneiras.
- Total: $6 \times 6 = 36$.
O total de maneiras é $36 + 36 = 72$.
Alternativa Correta: (A)
19. Em um grupo de 5 amigos, 2 serão escolhidos para uma tarefa. De quantas maneiras diferentes essa escolha pode ser feita?
Solução Detalhada:
Como a ordem de escolha dos amigos não importa, trata-se de uma combinação simples.
$C_{5,2} = \binom{5}{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$.
Alternativa Correta: (C)
20. Qual a probabilidade de, ao lançar um dado, obter um número maior que 4?
Solução Detalhada:
O espaço amostral de um dado honesto é $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, então $n(S) = 6$.
O evento de obter um número maior que 4 é $E = \{5, 6\}$, então $n(E) = 2$.
A probabilidade é $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Alternativa Correta: (D)