Questões de Vestibular - Polinômios e Complexos

Solução Detalhada:

O grau de um polinômio é o maior expoente da variável com coeficiente não nulo.

No polinômio $P(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5x - 1$, o maior expoente de $x$ é 4.

Alternativa Correta: (D)

Solução Detalhada:

Para encontrar $P(1)$, substituímos $x$ por 1 no polinômio:

$P(1) = (1)^2 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$.

Alternativa Correta: (A)

Solução Detalhada:

Pelo Teorema do Resto, o resto da divisão de $P(x)$ por $(x-a)$ é $P(a)$.

Neste caso, $a=1$. Então, o resto é $P(1)$.

$P(1) = (1)^3 - 2(1)^2 + (1) - 1 = 1 - 2 + 1 - 1 = -1$.

Alternativa Correta: (B)

Solução Detalhada:

Sabemos que $i^1 = i$, $i^2 = -1$, $i^3 = i^2 \cdot i = -1 \cdot i = -i$, $i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1$.

Portanto, $i^3 = -i$.

Alternativa Correta: (C)

Solução Detalhada:

Para somar números complexos, somamos as partes reais e as partes imaginárias separadamente.

$(2+3i) + (1-i) = (2+1) + (3-1)i = 3 + 2i$.

Alternativa Correta: (B)

Solução Detalhada:

Usamos a propriedade $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

$(1+i)(1-i) = 1^2 - i^2 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$.

Alternativa Correta: (A)

Solução Detalhada:

Se 2 é raiz do polinômio, então $P(2) = 0$.

$P(2) = (2)^2 - 4(2) + k = 0$

$4 - 8 + k = 0$

$-4 + k = 0$

$k = 4$.

Alternativa Correta: (C)

Solução Detalhada:

Para $z = a + bi$, o módulo é $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ e o argumento é $\theta$ tal que $\cos \theta = \frac{a}{|z|}$ e $\sin \theta = \frac{b}{|z|}$.

Para $z = 1 + i$, temos $a=1$ e $b=1$.

$|z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ e $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Portanto, $\theta = \frac{\pi}{4}$ (ou $45^\circ$).

A forma trigonométrica é $z = \sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4})$.

Alternativa Correta: (B)

Solução Detalhada:

O conjugado de um número complexo $z = a + bi$ é $\bar{z} = a - bi$.

Para $z = 3 - 4i$, o conjugado é $\bar{z} = 3 + 4i$.

Alternativa Correta: (A)

Solução Detalhada:

Podemos encontrar as raízes resolvendo a equação $x^2 - 5x + 6 = 0$.

Por soma e produto: Soma = 5, Produto = 6. Os números são 2 e 3.

Ou usando a fórmula de Bhaskara: $x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(6)}}{2(1)} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}$.

$x_1 = \frac{5+1}{2} = 3$

$x_2 = \frac{5-1}{2} = 2$

Alternativa Correta: (C)

Solução Detalhada:

Sabemos que $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ e $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$z = 2(\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) = 2 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot i \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 + i\sqrt{3}$.

Alternativa Correta: (B)

Solução Detalhada:

Para encontrar $P(0)$, substituímos $x$ por 0 no polinômio:

$P(0) = (0)^3 - 6(0)^2 + 11(0) - 6 = -6$.

Alternativamente, o termo independente de um polinômio é o valor de $P(0)$.

Alternativa Correta: (A)

Solução Detalhada:

O módulo de um número complexo $z = a + bi$ é $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.

$|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Alternativa Correta: (C)

Solução Detalhada:

Pelas Relações de Girard, para um polinômio $x^2 + ax + b = 0$ com raízes $r_1$ e $r_2$:

• Soma das raízes: $r_1 + r_2 = -a$
• Produto das raízes: $r_1 \cdot r_2 = b$

Dadas as raízes 1 e -2:

$1 + (-2) = -a \Rightarrow -1 = -a \Rightarrow a = 1$.

$1 \cdot (-2) = b \Rightarrow b = -2$.

Então, $a+b = 1 + (-2) = -1$.

Alternativa Correta: (A)

Solução Detalhada:

Podemos usar a fatoração da diferença de quadrados: $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$.

Então, $\frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1$ (para $x \neq 1$).

Alternativa Correta: (B)

Solução Detalhada:

O número complexo $z = 5i$ está no eixo imaginário positivo do plano complexo.

Seu argumento principal é $\frac{\pi}{2}$ (ou $90^\circ$).

Alternativa Correta: (D)

Solução Detalhada:

$(1+i)^2 = 1^2 + 2(1)(i) + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$.

Alternativa Correta: (A)

Solução Detalhada:

Se 1 é raiz, podemos dividir $P(x)$ por $(x-1)$ usando Briot-Ruffini ou divisão de polinômios.

$(x^3 - 7x + 6) \div (x-1) = x^2 + x - 6$.

Agora, encontramos as raízes de $x^2 + x - 6 = 0$.

Soma = -1, Produto = -6. As raízes são -3 e 2.

Alternativa Correta: (B)

Solução Detalhada:

As potências de $i$ se repetem em ciclos de 4: $i^1=i, i^2=-1, i^3=-i, i^4=1$.

Dividimos o expoente 2023 por 4: $2023 \div 4 = 505$ com resto 3.

Então, $i^{2023} = i^3 = -i$.

Alternativa Correta: (C)

Solução Detalhada:

As raízes de um polinômio na forma fatorada são os valores de $x$ que tornam cada fator igual a zero.

• $x-1 = 0 \Rightarrow x = 1$
• $x+2 = 0 \Rightarrow x = -2$
• $x-3 = 0 \Rightarrow x = 3$

As raízes são 1, -2 e 3.

Alternativa Correta: (A)