Questões de Vestibular - Funções

Solução Detalhada:

Temos um sistema de equações com base nos pontos dados:

$f(1) = a(1) + b = 5 \Rightarrow a + b = 5$ (Equação 1)

$f(3) = a(3) + b = 11 \Rightarrow 3a + b = 11$ (Equação 2)

Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:

$(3a + b) - (a + b) = 11 - 5$

$2a = 6$

$a = 3$

Substituindo $a=3$ na Equação 1:

$3 + b = 5$

$b = 2$

A função é $f(x) = 3x + 2$.

Para encontrar $f(0)$:

$f(0) = 3(0) + 2 = 2$

Alternativa Correta: (C)

Solução Detalhada:

Para encontrar o ponto de intersecção com o eixo y, devemos fazer $x = 0$ na função.

$f(0) = (0)^2 - 4(0) + 3$

$f(0) = 0 - 0 + 3$

$f(0) = 3$

Portanto, o gráfico intercepta o eixo y no ponto $(0, 3)$.

Alternativa Correta: (D)

Solução Detalhada:

Para que a função $f(x) = \sqrt{x - 2}$ seja definida nos números reais, o radicando (o que está dentro da raiz quadrada) deve ser maior ou igual a zero.

Assim, temos a condição:

$x - 2 \ge 0$

$x \ge 2$

Portanto, o domínio da função é o conjunto de todos os números reais maiores ou iguais a 2, que é representado pelo intervalo $[2, +\infty)$.

Alternativa Correta: (A)

Solução Detalhada:

Para encontrar o valor de $g(3)$, substituímos $x$ por 3 na função $g(x) = 2^x$:

$g(3) = 2^3$

$g(3) = 2 \times 2 \times 2$

$g(3) = 8$

Alternativa Correta: (B)

Solução Detalhada:

Para encontrar o valor de $f(8)$, substituímos $x$ por 8 na função $f(x) = \log_2(x)$:

$f(8) = \log_2(8)$

Para resolver $\log_2(8)$, perguntamos: "A que potência devemos elevar 2 para obter 8?"

$2^y = 8$

$2^y = 2^3$

$y = 3$

Portanto, $f(8) = 3$.

Alternativa Correta: (C)

Solução Detalhada:

A função $f(x) = x^2 + 1$ é uma parábola com concavidade para cima (coeficiente de $x^2$ é positivo).

O vértice da parábola é o ponto de mínimo. Para $f(x) = ax^2 + bx + c$, a coordenada x do vértice é $x_v = -b/(2a)$. Neste caso, $a=1$, $b=0$, então $x_v = 0$.

A coordenada y do vértice é $y_v = f(x_v) = f(0) = (0)^2 + 1 = 1$.

Como a parábola tem concavidade para cima, o menor valor que a função pode assumir é 1. Todos os outros valores são maiores que 1.

Portanto, o conjunto imagem é $[1, +\infty)$.

Alternativa Correta: (A)

Solução Detalhada:

A função composta $(f \circ g)(x)$ significa $f(g(x))$.

Primeiro, substituímos $g(x)$ na função $f(x)$:

$f(g(x)) = f(x + 1)$

Agora, substituímos $x$ por $(x + 1)$ na expressão de $f(x) = 3x - 2$:

$f(x + 1) = 3(x + 1) - 2$

$f(x + 1) = 3x + 3 - 2$

$f(x + 1) = 3x + 1$

Portanto, $(f \circ g)(x) = 3x + 1$.

Alternativa Correta: (D)

Solução Detalhada:

Para encontrar a função inversa, seguimos os seguintes passos:

1. Substitua $f(x)$ por $y$: $y = 2x + 3$

2. Troque $x$ por $y$ e $y$ por $x$: $x = 2y + 3$

3. Isole $y$ na nova equação:

$x - 3 = 2y$

$y = \frac{x - 3}{2}$

4. Substitua $y$ por $f^{-1}(x)$:

$f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}$

Alternativa Correta: (A)

Solução Detalhada:

Para uma função quadrática $y = ax^2 + bx + c$, as coordenadas do vértice $(x_v, y_v)$ são dadas por:

$x_v = -\frac{b}{2a}$

$y_v = f(x_v)$ ou $y_v = -\frac{\Delta}{4a}$

Na função $y = -x^2 + 6x - 5$, temos $a = -1$, $b = 6$ e $c = -5$.

Calculando $x_v$:

$x_v = -\frac{6}{2(-1)} = -\frac{6}{-2} = 3$

Calculando $y_v$ substituindo $x_v$ na função:

$y_v = -(3)^2 + 6(3) - 5$

$y_v = -9 + 18 - 5$

$y_v = 9 - 5$

$y_v = 4$

Portanto, o vértice da parábola é $(3, 4)$.

Alternativa Correta: (B)

Solução Detalhada:

A função de custo $C(x) = 2x^2 - 40x + 300$ é uma função quadrática com concavidade para cima ($a=2 > 0$), o que significa que seu vértice representa o ponto de mínimo.

A quantidade de itens que minimiza o custo é a coordenada $x$ do vértice ($x_v$).

$x_v = -\frac{b}{2a}$

Na função, $a = 2$ e $b = -40$.

$x_v = -\frac{-40}{2(2)} = \frac{40}{4} = 10$

Portanto, 10 itens minimizam o custo de produção.

Alternativa Correta: (A)

Solução Detalhada:

A função $f(x) = |x - 3|$ é uma função modular. O valor absoluto de qualquer número real é sempre não negativo (maior ou igual a zero).

O menor valor que $|x - 3|$ pode assumir é 0, que ocorre quando $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$.

Para qualquer outro valor de $x$, $|x - 3|$ será positivo.

Portanto, o conjunto imagem da função é $[0, +\infty)$, ou seja, todos os números reais maiores ou iguais a zero.

Alternativa Correta: (C)

Solução Detalhada:

A função $f(x) = \sin(x)$ é a função seno.

O valor de $\pi/2$ radianos corresponde a 90 graus.

O seno de 90 graus é 1.

Portanto, $f(\pi/2) = \sin(\pi/2) = 1$.

Alternativa Correta: (A)

Solução Detalhada:

Para uma função trigonométrica do tipo $f(x) = A \cos(Bx + C) + D$ ou $f(x) = A \sin(Bx + C) + D$, o período $P$ é dado por:

$P = \frac{2\pi}{|B|}$

Na função $f(x) = \cos(2x)$, temos $B = 2$.

$P = \frac{2\pi}{|2|} = \frac{2\pi}{2} = \pi$

Portanto, o período da função é $\pi$.

Alternativa Correta: (B)

Solução Detalhada:

A função $f(x) = e^x$ é a função exponencial com base $e$.

Para encontrar $f(\ln 5)$, substituímos $x$ por $\ln 5$:

$f(\ln 5) = e^{\ln 5}$

Pela propriedade fundamental dos logaritmos, $e^{\ln a} = a$.

Portanto, $e^{\ln 5} = 5$.

Alternativa Correta: (D)

Solução Detalhada:

Para resolver a equação logarítmica, usamos a definição de logaritmo: se $\log_b(a) = c$, então $b^c = a$.

Na equação $\log_3(x + 1) = 2$, temos $b = 3$, $a = x + 1$ e $c = 2$.

Aplicando a definição:

$3^2 = x + 1$

$9 = x + 1$

$x = 9 - 1$

$x = 8$

Alternativa Correta: (A)

Solução Detalhada:

A função composta $(g \circ f)(x)$ significa $g(f(x))$.

Primeiro, substituímos $f(x)$ na função $g(x)$:

$g(f(x)) = g(x^2 - 1)$

Agora, substituímos $x$ por $(x^2 - 1)$ na expressão de $g(x) = x + 2$:

$g(x^2 - 1) = (x^2 - 1) + 2$

$g(x^2 - 1) = x^2 + 1$

Portanto, $(g \circ f)(x) = x^2 + 1$.

Alternativa Correta: (C)

Solução Detalhada:

Sabemos que $|x| \ge 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$.

Multiplicando por -1, invertemos a desigualdade:

$-|x| \le 0$

Agora, somamos 3 a ambos os lados:

$3 - |x| \le 3 + 0$

$3 - |x| \le 3$

Como $f(x) = 3 - |x|$, temos $f(x) \le 3$.

O maior valor que $f(x)$ pode assumir é 3 (quando $x=0$, $|x|=0$). Todos os outros valores são menores ou iguais a 3.

Portanto, o conjunto imagem da função é $(-\infty, 3]$.

Alternativa Correta: (A)

Solução Detalhada:

Para calcular $f(-2)$, usamos a primeira parte da função, pois $-2 < 0$:

$f(-2) = -2 + 1 = -1$

Para calcular $f(2)$, usamos a segunda parte da função, pois $2 \ge 0$:

$f(2) = (2)^2 = 4$

Agora, somamos os resultados:

$f(-2) + f(2) = -1 + 4 = 3$

Alternativa Correta: (B)

Solução Detalhada:

Para encontrar o número de raízes reais da equação $2^x = x + 1$, podemos analisar graficamente as funções $y = 2^x$ (exponencial) e $y = x + 1$ (linear).

Vamos testar alguns valores:

• Se $x = 0$: $2^0 = 1$ e $0 + 1 = 1$. Então, $x=0$ é uma raiz.
• Se $x = 1$: $2^1 = 2$ e $1 + 1 = 2$. Então, $x=1$ é uma raiz.
• Se $x = 2$: $2^2 = 4$ e $2 + 1 = 3$. $4 \ne 3$.
• Se $x = -1$: $2^{-1} = 0.5$ e $-1 + 1 = 0$. $0.5 \ne 0$.

A função exponencial $y = 2^x$ cresce mais rapidamente que a função linear $y = x + 1$.

Ao plotar os gráficos, observamos que eles se interceptam em dois pontos: $x=0$ e $x=1$.

Para $x < 0$, $2^x$ se aproxima de 0, enquanto $x+1$ se torna negativo e depois positivo (passando por 0 em $x=-1$). $2^x$ é sempre positivo. Em $x=-1$, $2^{-1}=0.5$ e $x+1=0$. Para $x=-2$, $2^{-2}=0.25$ e $x+1=-1$. Não há intersecção para $x < 0$.

Para $x > 1$, $2^x$ cresce muito mais rápido que $x+1$, então não haverá mais intersecções.

Portanto, existem 2 raízes reais.

Alternativa Correta: (C)

Solução Detalhada:

Para encontrar $f(f(x))$, substituímos $x$ na função $f(x)$ pela própria função $f(x)$.

$f(f(x)) = f\left(\frac{x + 1}{x - 1}\right)$

Agora, substituímos $\frac{x + 1}{x - 1}$ no lugar de $x$ na expressão original de $f(x)$:

$f\left(\frac{x + 1}{x - 1}\right) = \frac{\left(\frac{x + 1}{x - 1}\right) + 1}{\left(\frac{x + 1}{x - 1}\right) - 1}$

Para simplificar, encontramos um denominador comum no numerador e no denominador da fração maior:

Numerador: $\frac{x + 1}{x - 1} + \frac{x - 1}{x - 1} = \frac{x + 1 + x - 1}{x - 1} = \frac{2x}{x - 1}$

Denominador: $\frac{x + 1}{x - 1} - \frac{x - 1}{x - 1} = \frac{x + 1 - (x - 1)}{x - 1} = \frac{x + 1 - x + 1}{x - 1} = \frac{2}{x - 1}$

Agora, dividimos o numerador pelo denominador:

$f(f(x)) = \frac{\frac{2x}{x - 1}}{\frac{2}{x - 1}} = \frac{2x}{x - 1} \times \frac{x - 1}{2}$

Cancelando $(x - 1)$ e 2:

$f(f(x)) = x$

Alternativa Correta: (A)