Questões de Vestibular - Trigonometria

Solução Detalhada:

Sabemos que $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$ e $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.

Então, $\sin(30^\circ) + \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

Alternativa Correta: (C)

Solução Detalhada:

Podemos construir um triângulo retângulo onde o cateto oposto é 3 e o cateto adjacente é 4. Pelo Teorema de Pitágoras, a hipotenusa será $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Como $x$ está no primeiro quadrante, $\sin(x)$ é positivo.

$\sin(x) = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}} = \frac{3}{5}$.

Alternativa Correta: (B)

Solução Detalhada:

Para uma função do tipo $f(x) = A \sin(Bx + C) + D$, o período é dado por $T = \frac{2\pi}{|B|}$.

Na função $f(x) = \sin(2x)$, temos $B = 2$.

$T = \frac{2\pi}{|2|} = \pi$.

Alternativa Correta: (A)

Solução Detalhada:

Usamos a relação fundamental da trigonometria: $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$.

$\sin^2(x) + \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = 1$

$\sin^2(x) + \frac{1}{4} = 1$

$\sin^2(x) = 1 - \frac{1}{4}$

$\sin^2(x) = \frac{3}{4}$

$\sin(x) = \pm\sqrt{\frac{3}{4}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$

Como $x$ está no segundo quadrante, $\sin(x)$ é positivo.

$\sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Alternativa Correta: (D)

Solução Detalhada:

Sabemos que $\tan(45^\circ) = \frac{\sin(45^\circ)}{\cos(45^\circ)} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1$.

Alternativa Correta: (A)

Solução Detalhada:

O seno de um ângulo é zero nos ângulos $0$, $\pi$, $2\pi$, etc. No intervalo $[0, 2\pi]$, os valores são $0$, $\pi$ e $2\pi$.

Alternativa Correta: (C)

Solução Detalhada:

O ângulo de $120^\circ$ está no segundo quadrante. O ângulo de referência é $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

No segundo quadrante, o cosseno é negativo.

$\cos(120^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2}$.

Alternativa Correta: (B)

Solução Detalhada:

Usamos a relação fundamental da trigonometria: $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$.

$\left(\frac{1}{3}\right)^2 + \cos^2(x) = 1$

$\frac{1}{9} + \cos^2(x) = 1$

$\cos^2(x) = 1 - \frac{1}{9}$

$\cos^2(x) = \frac{8}{9}$

$\cos(x) = \pm\sqrt{\frac{8}{9}} = \pm\frac{2\sqrt{2}}{3}$

Como $x$ está no segundo quadrante, $\cos(x)$ é negativo.

$\cos(x) = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Alternativa Correta: (A)

Solução Detalhada:

Podemos usar a fórmula da diferença de arcos para o seno: $\sin(A - B) = \sin(A)\cos(B) - \cos(A)\sin(B)$.

$\sin(15^\circ) = \sin(45^\circ - 30^\circ)$

$\sin(15^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) - \cos(45^\circ)\sin(30^\circ)$

$\sin(15^\circ) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)$

$\sin(15^\circ) = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}$

$\sin(15^\circ) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Alternativa Correta: (C)

Solução Detalhada:

Podemos usar a fórmula da soma de arcos para o cosseno: $\cos(A + B) = \cos(A)\cos(B) - \sin(A)\sin(B)$.

$\cos(75^\circ) = \cos(45^\circ + 30^\circ)$

$\cos(75^\circ) = \cos(45^\circ)\cos(30^\circ) - \sin(45^\circ)\sin(30^\circ)$

$\cos(75^\circ) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)$

$\cos(75^\circ) = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}$

$\cos(75^\circ) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Alternativa Correta: (B)

Solução Detalhada:

Primeiro, encontramos $\cos(x)$. Usamos $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$.

$\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \cos^2(x) = 1$

$\frac{1}{4} + \cos^2(x) = 1$

$\cos^2(x) = \frac{3}{4}$

Como $x$ está no primeiro quadrante, $\cos(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Agora, usamos a fórmula do seno do arco duplo: $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$.

$\sin(2x) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin(2x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Alternativa Correta: (C)

Solução Detalhada:

Usamos a fórmula do cosseno do arco duplo: $\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$.

$\cos(2x) = 2\left(\frac{3}{5}\right)^2 - 1$

$\cos(2x) = 2\left(\frac{9}{25}\right) - 1$

$\cos(2x) = \frac{18}{25} - 1$

$\cos(2x) = \frac{18 - 25}{25}$

$\cos(2x) = -\frac{7}{25}$

Alternativa Correta: (A)

Solução Detalhada:

Sabemos que $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$.

Substituindo na expressão:

$\frac{2\sin(x)\cos(x)}{2\cos^2(x)}$

Simplificando:

$\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \tan(x)$

Alternativa Correta: (B)

Solução Detalhada:

Convertendo radianos para graus: $\frac{5\pi}{6} = \frac{5 \times 180^\circ}{6} = 5 \times 30^\circ = 150^\circ$.

O ângulo de $150^\circ$ está no segundo quadrante. O ângulo de referência é $180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

No segundo quadrante, o seno é positivo.

$\sin(150^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.

Alternativa Correta: (D)

Solução Detalhada:

O cosseno de um ângulo é 1 nos ângulos $0$, $2\pi$, $4\pi$, etc. No intervalo $[0, 2\pi]$, os valores são $0$ e $2\pi$.

Alternativa Correta: (A)

Solução Detalhada:

O valor máximo de $\sin(x)$ é 1.

Então, o valor máximo de $f(x) = 3\sin(x) + 2$ é $3(1) + 2 = 3 + 2 = 5$.

Alternativa Correta: (C)

Solução Detalhada:

Para uma função do tipo $f(x) = A \cos(Bx + C) + D$, a amplitude é $|A|$.

Na função $f(x) = 5\cos(x) - 1$, temos $A = 5$.

A amplitude é $|5| = 5$.

Alternativa Correta: (A)

Solução Detalhada:

Elevamos ao quadrado ambos os lados da equação $\sin(x) + \cos(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$(\sin(x) + \cos(x))^2 = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2$

$\sin^2(x) + 2\sin(x)\cos(x) + \cos^2(x) = \frac{2}{4}$

Sabemos que $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$.

$1 + 2\sin(x)\cos(x) = \frac{1}{2}$

$2\sin(x)\cos(x) = \frac{1}{2} - 1$

$2\sin(x)\cos(x) = -\frac{1}{2}$

$\sin(x)\cos(x) = -\frac{1}{4}$

Alternativa Correta: (B)

Solução Detalhada:

Primeiro, encontramos $\cos(x)$. Usamos $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$.

$\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \cos^2(x) = 1$

$\frac{1}{4} + \cos^2(x) = 1$

$\cos^2(x) = \frac{3}{4}$

Como $x$ está no segundo quadrante, $\cos(x)$ é negativo: $\cos(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Agora, calculamos $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$.

$\tan(x) = \frac{\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Alternativa Correta: (C)

Solução Detalhada:

Usamos a relação fundamental da trigonometria: $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$.

$\sin^2(x) + \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1$

$\sin^2(x) + \frac{16}{25} = 1$

$\sin^2(x) = 1 - \frac{16}{25}$

$\sin^2(x) = \frac{9}{25}$

$\sin(x) = \pm\sqrt{\frac{9}{25}} = \pm\frac{3}{5}$

Como $x$ está no quarto quadrante, $\sin(x)$ é negativo.

$\sin(x) = -\frac{3}{5}$.

Alternativa Correta: (D)