Questões de Vestibular - Geometria Espacial

Solução Detalhada:

O volume de um cubo é dado pela fórmula $V = a^3$, onde $a$ é a medida da aresta.

Dados: $a = 4 \text{ cm}$.

$V = 4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64 \text{ cm}^3$

Alternativa Correta: (C)

Solução Detalhada:

A área da superfície de uma esfera é dada pela fórmula $A = 4\pi r^2$, onde $r$ é o raio.

Dados: $r = 3 \text{ cm}$, $\pi \approx 3,14$.

$A = 4 \times 3,14 \times (3)^2$

$A = 4 \times 3,14 \times 9$

$A = 12,56 \times 9$

$A = 113,04 \text{ cm}^2$

Alternativa Correta: (A)

Solução Detalhada:

O volume de um cilindro é dado pela fórmula $V = \pi r^2 h$, onde $r$ é o raio da base e $h$ é a altura.

Dados: $r = 2 \text{ cm}$, $h = 5 \text{ cm}$, $\pi \approx 3,14$.

$V = 3,14 \times (2)^2 \times 5$

$V = 3,14 \times 4 \times 5$

$V = 3,14 \times 20$

$V = 62,8 \text{ cm}^3$

Alternativa Correta: (B)

Solução Detalhada:

O volume de uma pirâmide é dado pela fórmula $V = \frac{1}{3} A_b h$, onde $A_b$ é a área da base e $h$ é a altura.

A base é um quadrado de lado 6 cm, então $A_b = 6^2 = 36 \text{ cm}^2$.

Dados: $A_b = 36 \text{ cm}^2$, $h = 4 \text{ cm}$.

$V = \frac{1}{3} \times 36 \times 4$

$V = 12 \times 4$

$V = 48 \text{ cm}^3$

Alternativa Correta: (D)

Solução Detalhada:

O volume de um cone é dado pela fórmula $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$, onde $r$ é o raio da base e $h$ é a altura.

Dados: $r = 3 \text{ cm}$, $h = 4 \text{ cm}$, $\pi \approx 3,14$.

$V = \frac{1}{3} \times 3,14 \times (3)^2 \times 4$

$V = \frac{1}{3} \times 3,14 \times 9 \times 4$

$V = 3,14 \times 3 \times 4$

$V = 3,14 \times 12$

$V = 37,68 \text{ cm}^3$

Alternativa Correta: (C)

Solução Detalhada:

A diagonal $D$ de um paralelepípedo reto-retângulo com dimensões $a, b, c$ é dada pela fórmula $D = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$.

Dados: $a = 3 \text{ cm}$, $b = 4 \text{ cm}$, $c = 12 \text{ cm}$.

$D = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2}$

$D = \sqrt{9 + 16 + 144}$

$D = \sqrt{25 + 144}$

$D = \sqrt{169}$

$D = 13 \text{ cm}$

Alternativa Correta: (A)

Solução Detalhada:

A área total de um cilindro é dada pela fórmula $A_T = 2A_b + A_L$, onde $A_b$ é a área da base e $A_L$ é a área lateral.

Área da base ($A_b = \pi r^2$):

$A_b = 3,14 \times (3)^2 = 3,14 \times 9 = 28,26 \text{ cm}^2$

Área lateral ($A_L = 2\pi r h$):

$A_L = 2 \times 3,14 \times 3 \times 4 = 6,28 \times 12 = 75,36 \text{ cm}^2$

Área total ($A_T = 2A_b + A_L$):

$A_T = 2(28,26) + 75,36 = 56,52 + 75,36 = 131,88 \text{ cm}^2$

Alternativa Correta: (D)

Solução Detalhada:

O volume de um prisma é dado pela fórmula $V = A_b h$, onde $A_b$ é a área da base e $h$ é a altura.

A base é um hexágono regular de lado $L = 2 \text{ cm}$. A área de um hexágono regular é $A_b = \frac{3L^2\sqrt{3}}{2}$.

$A_b = \frac{3(2)^2\sqrt{3}}{2} = \frac{3 \times 4\sqrt{3}}{2} = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \text{ cm}^2$

Dados: $A_b = 6\sqrt{3} \text{ cm}^2$, $h = 5 \text{ cm}$.

$V = 6\sqrt{3} \times 5 = 30\sqrt{3} \text{ cm}^3$

Alternativa Correta: (B)

Solução Detalhada:

A área lateral de um cone é dada pela fórmula $A_L = \pi r g$, onde $r$ é o raio da base e $g$ é a geratriz.

Dados: $r = 5 \text{ cm}$, $g = 13 \text{ cm}$, $\pi \approx 3,14$.

$A_L = 3,14 \times 5 \times 13$

$A_L = 15,7 \times 13$

$A_L = 204,1 \text{ cm}^2$

Alternativa Correta: (A)

Solução Detalhada:

O volume de um paralelepípedo reto-retângulo é dado pela fórmula $V = \text{comprimento} \times \text{largura} \times \text{altura}$.

Dados: Comprimento = 2 m, Largura = 1,5 m, Altura = 1 m.

$V = 2 \times 1,5 \times 1 = 3 \text{ m}^3$

Sabemos que $1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ litros}$.

Então, $3 \text{ m}^3 = 3 \times 1000 = 3000 \text{ litros}$.

Alternativa Correta: (B)

Solução Detalhada:

O volume de um cilindro é $V_{cilindro} = A_b h$.

O volume de um cone é $V_{cone} = \frac{1}{3} A_b h$.

Como o cone e o cilindro têm a mesma base ($A_b$) e a mesma altura ($h$), podemos relacionar seus volumes:

$V_{cone} = \frac{1}{3} V_{cilindro}$

Dados: $V_{cilindro} = 90 \text{ cm}^3$.

$V_{cone} = \frac{1}{3} \times 90 = 30 \text{ cm}^3$

Alternativa Correta: (C)

Solução Detalhada:

A área da superfície de um cubo é composta por 6 faces quadradas. A área de cada face é $a^2$, onde $a$ é a aresta.

Então, a área total $A_T = 6a^2$.

Dados: $A_T = 150 \text{ cm}^2$.

$150 = 6a^2$

$a^2 = \frac{150}{6}$

$a^2 = 25$

$a = \sqrt{25}$

$a = 5 \text{ cm}$

Alternativa Correta: (B)

Solução Detalhada:

Primeiro, calculamos o volume total do cilindro: $V = \pi r^2 h$.

Dados: $r = 2 \text{ m}$, $h = 10 \text{ m}$, $\pi \approx 3,14$.

$V = 3,14 \times (2)^2 \times 10$

$V = 3,14 \times 4 \times 10$

$V = 3,14 \times 40$

$V = 125,6 \text{ m}^3$

Convertendo para litros: $1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ L}$.

$V_{litros} = 125,6 \times 1000 = 125600 \text{ L}$

Agora, calculamos 75% dessa capacidade:

Água = $0,75 \times 125600$

Água = $94200 \text{ L}$

Alternativa Correta: (A)

Solução Detalhada:

A área total de um cone é $A_T = A_b + A_L$, onde $A_b = \pi r^2$ e $A_L = \pi r g$. Precisamos da geratriz $g$.

Podemos encontrar a geratriz usando o Teorema de Pitágoras: $g^2 = r^2 + h^2$.

Dados: $r = 6 \text{ cm}$, $h = 8 \text{ cm}$.

$g^2 = 6^2 + 8^2$

$g^2 = 36 + 64$

$g^2 = 100$

$g = 10 \text{ cm}$

Área da base ($A_b = \pi r^2$):

$A_b = 3,14 \times (6)^2 = 3,14 \times 36 = 113,04 \text{ cm}^2$

Área lateral ($A_L = \pi r g$):

$A_L = 3,14 \times 6 \times 10 = 3,14 \times 60 = 188,4 \text{ cm}^2$

Área total ($A_T = A_b + A_L$):

$A_T = 113,04 + 188,4 = 301,44 \text{ cm}^2$

Alternativa Correta: (B)

Solução Detalhada:

Um tetraedro regular é um poliedro com 4 faces, todas sendo triângulos equiláteros.

A área de um triângulo equilátero de lado $L$ é $A_{triangulo} = \frac{L^2\sqrt{3}}{4}$.

Dados: $L = 6 \text{ cm}$.

$A_{triangulo} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} \text{ cm}^2$

Como há 4 faces, a área total é $A_T = 4 \times A_{triangulo}$.

$A_T = 4 \times 9\sqrt{3} = 36\sqrt{3} \text{ cm}^2$

Alternativa Correta: (C)

Solução Detalhada:

A diagonal $D$ de um cubo de aresta $a$ é dada pela fórmula $D = a\sqrt{3}$.

Dados: $a = 2 \text{ cm}$.

$D = 2\sqrt{3} \text{ cm}$

Alternativa Correta: (A)

Solução Detalhada:

O volume de uma esfera é dado pela fórmula $V = \frac{4}{3}\pi r^3$, onde $r$ é o raio.

Dados: $V = 36\pi \text{ cm}^3$.

$36\pi = \frac{4}{3}\pi r^3$

Dividimos ambos os lados por $\pi$:

$36 = \frac{4}{3} r^3$

$36 \times 3 = 4 r^3$

$108 = 4 r^3$

$r^3 = \frac{108}{4}$

$r^3 = 27$

$r = \sqrt[3]{27}$

$r = 3 \text{ cm}$

Alternativa Correta: (B)

Solução Detalhada:

O volume de um tronco de pirâmide é dado pela fórmula $V = \frac{h}{3} (A_1 + A_2 + \sqrt{A_1 A_2})$, onde $h$ é a altura, $A_1$ e $A_2$ são as áreas das bases.

Área da base menor ($A_1$): lado 4 cm, então $A_1 = 4^2 = 16 \text{ cm}^2$.

Área da base maior ($A_2$): lado 8 cm, então $A_2 = 8^2 = 64 \text{ cm}^2$.

Dados: $h = 6 \text{ cm}$, $A_1 = 16 \text{ cm}^2$, $A_2 = 64 \text{ cm}^2$.

$V = \frac{6}{3} (16 + 64 + \sqrt{16 \times 64})$

$V = 2 (80 + \sqrt{1024})$

$V = 2 (80 + 32)$

$V = 2 (112)$

$V = 224 \text{ cm}^3$

Alternativa Correta: (D)

Solução Detalhada:

Se o cilindro está inscrito no cubo, o raio da base do cilindro será metade da aresta do cubo, e a altura do cilindro será igual à aresta do cubo.

Dados: Aresta do cubo = 10 cm.

Raio do cilindro $r = \frac{10}{2} = 5 \text{ cm}$.

Altura do cilindro $h = 10 \text{ cm}$.

O volume do cilindro é $V = \pi r^2 h$.

$V = 3,14 \times (5)^2 \times 10$

$V = 3,14 \times 25 \times 10$

$V = 3,14 \times 250$

$V = 785 \text{ cm}^3$

Alternativa Correta: (A)

Solução Detalhada:

Se a esfera está inscrita em um cubo, o diâmetro da esfera é igual à aresta do cubo.

Dados: Aresta do cubo = 6 cm.

Diâmetro da esfera $D = 6 \text{ cm}$.

Raio da esfera $r = \frac{D}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ cm}$.

O volume de uma esfera é $V = \frac{4}{3}\pi r^3$.

$V = \frac{4}{3} \times 3,14 \times (3)^3$

$V = \frac{4}{3} \times 3,14 \times 27$

$V = 4 \times 3,14 \times 9$

$V = 12,56 \times 9$

$V = 113,04 \text{ cm}^3$

Alternativa Correta: (B)