Questões de Vestibular - Conjuntos
1. Qual dos seguintes conjuntos representa os números naturais menores que 5?
Solução Detalhada: Em vestibulares brasileiros, $\mathbb{N}$ inclui o zero. Números naturais menores que 5: $0,1,2,3,4$.
2. Se $A = \{a, b, c\}$ e $B = \{c, d, e\}$, qual é a união de A com B ($A \cup B$)?
Solução: União = todos os elementos de A ou B → $\{a,b,c,d,e\}$.
3. Considere os conjuntos: $A = \{a, b, c, d\}$; $B = \{a, b, d, e\}$ e $C = \{b, d, f, g\}$. O conjunto $Y$, tal que $Y \subset A$ e $A - Y = B \cap C$, é:
$B \cap C = \{b,d\}$ → $A - Y = \{b,d\}$ → $Y = \{a,c\}$.
4. O número de elementos de um conjunto finito $X$ é indicado por $n(X)$. Qual das afirmações a seguir é verdadeira para quaisquer conjuntos finitos $A$ e $B$?
Princípio da Inclusão-Exclusão.
5. Se A, B e C são conjuntos em que $n(A) = 25$, $n(B) = 18$, $n(C) = 27$, $n(A \cap B) = 9$, $n(B \cap C) = 10$, $n(A \cap C) = 6$ e $n(A \cap B \cap C) = 4$, determine $n((A \cup B) \cap C)$.
$(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)$ → $6 + 10 - 4 = 12$.
6. Considerando os conjuntos $A$, $B$ e $C$ de tal forma que $A \cup B = \{1, 2\}$ e $A \cup C = \{1, 2, 3, 4\}$, o conjunto $A \cup (B \cap C)$ será igual a:
$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) = \{1,2\} \cap \{1,2,3,4\} = \{1,2\} = A \cup B$.
7. Sendo $A$, $B$ e $C$ conjuntos tais que $x \in [A \cap (B \cup C)]$, é correto afirmar que:
$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ → distributiva.
8. Sabendo que $x, y$ e $z$ são números reais e $(2x + y - z)^2 + (x - y)^2 + (z - 3)^2 = 0$, então $x + y + z$ é igual a:
Soma de quadrados = 0 ⇒ cada termo = 0 → $z=3$, $x=y$, $2x+y=3$ → $x=1$, $y=1$ → $x+y+z=5$.
9. Sendo $A$, $B$ e $C$ intervalos reais tais que $A \cup B = [-5, 8]$ e $A \cup C = [-3, 11]$, determine $A \cup (B \cap C)$.
$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) = [-5,8] \cap [-3,11] = [-3,8]$.
10. Se $A = [-2, 3]$ e $B = [0, 5]$, então os números inteiros que estão em $B - A$ são:
$B - A = ]3, 5]$ → inteiros: 4 e 5.
11. Três conjuntos $D$, $E$ e $F$ satisfazem $D \subset E$, $E \subset F$ e $F \subset D$. Pode-se afirmar que:
$D \subset E \subset F$ e $F \subset D$ ⇒ $D = E = F$.
12. O número $x$ não pertence ao intervalo aberto de extremos $-1$ e $2$. Sabe-se que $x < 0$ ou $x > 3$. Pode-se concluir que:
Complementar de $(-1,2)$: $x \leq -1$ ou $x \geq 2$. Interseção com ($x<0$ ou $x>3$) → $x \leq -1$ ou $x > 3$.
13. O número de elementos de um conjunto finito $X$ é indicado por $n(X)$. Qual das afirmações a seguir é verdadeira para quaisquer conjuntos finitos $A$ e $B$?
Inclusão-Exclusão.
14. Cada um dos números naturais $x$ e $y$ é formado por três algarismos diferentes entre si, sendo que $x$ contém apenas algarismos ímpares e $y$, apenas algarismos pares. Sabendo que $x > y$, calcule o maior valor possível da diferença $x - y$.
Maior $x$ ímpar: 975
Menor $y$ par (sem repetir, sem zero na frente): 204
975 − 204 = 771.
15. Se $x$ e $y$ são dois números inteiros, estritamente positivos e consecutivos, qual dos números abaixo é necessariamente um inteiro ímpar?
$x$ e $y$ consecutivos → um par, um ímpar → $xy$ par → $xy + 1$ ímpar sempre.
16. Se A, B, C, D e F são conjuntos quaisquer tais que $A \cap B = D$ e $A \cap C = F$, então o conjunto $A \cap (B \cup C)$ é igual a:
$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) = D \cup F$.
17. De uma pesquisa com 2.200 gaúchos: 816 já estiveram no Nordeste, 602 no Norte, 206 nas duas regiões. Quantos nunca estiveram em nenhuma dessas regiões?
União = 816 + 602 − 206 = 1.212
Nunca = 2.200 − 1.212 = 988.
18. Em uma pesquisa com 47 pessoas: 32 trabalham em Montagem, 17 em Pintura, 3 não trabalham em nenhum. Quantos trabalham apenas em Pintura?
União = 47 − 3 = 44
Interseção = 32 + 17 − 44 = 5
Apenas Pintura = 17 − 5 = 12.
19. Pesquisa com 400 jovens: 283 já dirigiram automóvel, 127 motocicleta, 67 nenhum dos dois. Quantos já dirigiram os dois?
União = 400 − 67 = 333
Interseção = 283 + 127 − 333 = 77.
20. Cada um dos 51 professores leciona em pelo menos um dos três prédios A, B e C. 32 em A, 30 em B, 29 em C; 17 em A e B, 18 em A e C, 15 em B e C. Quantos lecionam nos três prédios?
51 = 32+30+29 −17−18−15 + x
51 = 91 − 50 + x → x = 10.
21. 200 pessoas entrevistadas. 75 usam linha A, 94 B, 110 C; 38 usam A e B, 42 A e C, 60 B e C; 26 não usam nenhuma. Quantos usam as três linhas?
União = 200 − 26 = 174
174 = 279 − 140 + x → x = 35.
22. Dos 500 frequentadores de uma academia, 100 fazem musculação, 200 natação e 250 apenas outras atividades. Quantos fazem musculação e natação?
União M∪N = 500 − 250 = 250
Interseção = 100 + 200 − 250 = 50.
23. 85 associados de um clube. 50 só natação, 17 praticam tênis, 38 praticam futebol (todos praticam pelo menos um). Quantos praticam natação e futebol, mas não tênis?
Total fora só natação = 85 − 50 = 35. Como tênis = 17 e futebol = 38, e não há interseção tênis-futebol informada, a questão leva a 13 apenas N e F.
24. Um caixa automático só trabalha com notas de 5 e 10 reais. Sacou-se R$100,00. Pode-se concluir que:
10a + 5b = 100 → 2a + b = 20 → b = 20 − 2a (par sempre).
25. Dois caibros de comprimentos pares e consecutivos devem ser divididos em pedaços de maior medida inteira possível, sem sobras. O total de pedaços é 67. Os comprimentos são:
MDC de dois pares consecutivos = 2 → total de pedaços = n + (n+1) = 67 → n = 33 → 66 e 68 dm.
26. Sejam A = [3, 9] e B = [5, +∞[. Se x pertence a A ∩ B, então x pertence obrigatoriamente ao intervalo:
A ∩ B = [5, 9]. Só este intervalo contém obrigatoriamente todo x da interseção.
27. Dados os conjuntos A = [4, 12], B = ]9, 19[ e C = [0, 8]. O conjunto A ∪ B ∪ C é igual a:
União passo a passo: [0, 19[.
Solução Detalhada (Passo a Passo):
Passo 1: Calcule $B \cap C$: Elementos comuns a B e C.
B = $\{a, b, d, e\}$, C = $\{b, d, f, g\}$ → comuns: b e d → $B \cap C = \{b, d\}$.
Passo 2: A condição é $A - Y = \{b, d\}$. Lembre que $A - Y$ é A sem os elementos de Y.
A = $\{a, b, c, d\}$.
Passo 3: Para que A sem Y resulte em $\{b, d\}$, Y deve conter os elementos de A que não estão em $\{b, d\}$: a e c.
Passo 4: Verifique: A - $\{a, c\}$ = $\{b, d\}$ (sim).
Passo 5: Y é subconjunto de A? Sim, $\{a, c\} \subset A$.
Alternativa Correta: (E)