Questões de Vestibular - Geometria Analítica

Solução Detalhada:

A distância entre dois pontos $A(x_1, y_1)$ e $B(x_2, y_2)$ é dada pela fórmula $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Dados: $A(2, 3)$ e $B(5, 7)$.

$d = \sqrt{(5 - 2)^2 + (7 - 3)^2}$

$d = \sqrt{(3)^2 + (4)^2}$

$d = \sqrt{9 + 16}$

$d = \sqrt{25}$

$d = 5$

Alternativa Correta: (C)

Solução Detalhada:

O ponto médio $M(x_M, y_M)$ de um segmento com extremidades $P(x_1, y_1)$ e $Q(x_2, y_2)$ é dado por $x_M = \frac{x_1 + x_2}{2}$ e $y_M = \frac{y_1 + y_2}{2}$.

Dados: $P(1, -2)$ e $Q(7, 4)$.

$x_M = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$y_M = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Portanto, o ponto médio é $(4, 1)$.

Alternativa Correta: (A)

Solução Detalhada:

Primeiro, calculamos o coeficiente angular $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

Dados: $(1, 2)$ e $(3, 6)$.

$m = \frac{6 - 2}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2$

Agora, usamos a equação da reta $y - y_1 = m(x - x_1)$ com um dos pontos, por exemplo $(1, 2)$.

$y - 2 = 2(x - 1)$

$y - 2 = 2x - 2$

$y = 2x$

Alternativa Correta: (B)

Solução Detalhada:

Para encontrar o coeficiente angular, isolamos $y$ na equação da reta ($y = mx + b$).

$2x + 3y - 6 = 0$

$3y = -2x + 6$

$y = -\frac{2}{3}x + \frac{6}{3}$

$y = -\frac{2}{3}x + 2$

O coeficiente angular $m$ é o valor que multiplica $x$, ou seja, $m = -\frac{2}{3}$.

Alternativa Correta: (D)

Solução Detalhada:

A equação de uma circunferência com centro $(h, k)$ e raio $r$ é $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$.

Dados: Centro $(0, 0)$, Raio $r = 5$.

$(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 5^2$

$x^2 + y^2 = 25$

Alternativa Correta: (A)

Solução Detalhada:

A equação de uma circunferência é $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$.

Comparando com a equação dada $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 9$, temos $r^2 = 9$.

$r = \sqrt{9}$

$r = 3$

Alternativa Correta: (B)

Solução Detalhada:

Os pontos $A(0, 0)$, $B(4, 0)$ e $C(0, 6)$ formam um triângulo retângulo com catetos sobre os eixos coordenados.

A base do triângulo é a distância de $(0,0)$ a $(4,0)$, que é 4.

A altura do triângulo é a distância de $(0,0)$ a $(0,6)$, que é 6.

A área de um triângulo é $A = \frac{\text{base} \times \text{altura}}{2}$.

$A = \frac{4 \times 6}{2} = \frac{24}{2} = 12$

Alternativa Correta: (C)

Solução Detalhada:

Usamos a equação da reta $y - y_1 = m(x - x_1)$.

Dados: Ponto $(2, 5)$, $m = 3$.

$y - 5 = 3(x - 2)$

$y - 5 = 3x - 6$

$y = 3x - 6 + 5$

$y = 3x - 1$

Alternativa Correta: (A)

Solução Detalhada:

Duas retas são paralelas se seus coeficientes angulares são iguais.

Na primeira reta, $y = 2x + 1$, o coeficiente angular é $m_1 = 2$.

Na segunda reta, $y = 2x - 3$, o coeficiente angular é $m_2 = 2$.

Como $m_1 = m_2$, as retas são paralelas.

Alternativa Correta: (B)

Solução Detalhada:

A distância de um ponto $P(x_0, y_0)$ a uma reta $Ax + By + C = 0$ é dada pela fórmula $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$.

Dados: Ponto $(0, 0)$, Reta $3x + 4y - 10 = 0$ (onde $A=3, B=4, C=-10$).

$d = \frac{|3(0) + 4(0) - 10|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}$

$d = \frac{|-10|}{\sqrt{9 + 16}}$

$d = \frac{10}{\sqrt{25}}$

$d = \frac{10}{5}$

$d = 2$

Alternativa Correta: (A)

Solução Detalhada:

A equação geral da circunferência é $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$. O centro $(h, k)$ é dado por $h = -\frac{D}{2}$ e $k = -\frac{E}{2}$.

Dados: $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0$ (onde $D=-4, E=6$).

$h = -\frac{-4}{2} = 2$

$k = -\frac{6}{2} = -3$

Portanto, o centro é $(2, -3)$.

Alternativa Correta: (C)

Solução Detalhada:

A equação geral da circunferência é $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$. O raio $r$ é dado por $r = \sqrt{h^2 + k^2 - F}$.

Do exercício anterior, o centro é $(h, k) = (2, -3)$. E $F = -3$.

$r = \sqrt{(2)^2 + (-3)^2 - (-3)}$

$r = \sqrt{4 + 9 + 3}$

$r = \sqrt{16}$

$r = 4$

Alternativa Correta: (B)

Solução Detalhada:

Retas paralelas têm o mesmo coeficiente angular. A reta dada $y = 2x + 3$ tem coeficiente angular $m = 2$.

A nova reta também terá $m = 2$ e passa pelo ponto $(1, 1)$.

Usamos a equação da reta $y - y_1 = m(x - x_1)$.

$y - 1 = 2(x - 1)$

$y - 1 = 2x - 2$

$y = 2x - 2 + 1$

$y = 2x - 1$

Alternativa Correta: (A)

Solução Detalhada:

Retas perpendiculares têm coeficientes angulares $m_1$ e $m_2$ tais que $m_1 \cdot m_2 = -1$.

A reta dada $y = -\frac{1}{2}x + 5$ tem coeficiente angular $m_1 = -\frac{1}{2}$.

Então, o coeficiente angular da reta perpendicular será $m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{1}{-\frac{1}{2}} = 2$.

A nova reta tem $m = 2$ e passa pelo ponto $(2, 3)$.

Usamos a equação da reta $y - y_1 = m(x - x_1)$.

$y - 3 = 2(x - 2)$

$y - 3 = 2x - 4$

$y = 2x - 4 + 3$

$y = 2x - 1$

Alternativa Correta: (B)

Solução Detalhada:

Três pontos são colineares se o determinante da matriz formada por suas coordenadas (adicionando uma coluna de 1s) for zero.

$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 4 & 1 \\ k & 6 & 1 \end{vmatrix} = 0$

$(1 \cdot 4 \cdot 1) + (2 \cdot 1 \cdot k) + (1 \cdot 3 \cdot 6) - (1 \cdot 4 \cdot k) - (1 \cdot 1 \cdot 6) - (2 \cdot 3 \cdot 1) = 0$

$4 + 2k + 18 - 4k - 6 - 6 = 0$

$22 + 2k - 4k - 12 = 0$

$10 - 2k = 0$

$2k = 10$

$k = 5$

Alternativamente, os coeficientes angulares entre quaisquer dois pares de pontos devem ser iguais.

$m_{AB} = \frac{4 - 2}{3 - 1} = \frac{2}{2} = 1$

$m_{BC} = \frac{6 - 4}{k - 3} = \frac{2}{k - 3}$

$1 = \frac{2}{k - 3}$

$k - 3 = 2$

$k = 5$

Alternativa Correta: (D)

Solução Detalhada:

Os pontos $A(1, 1)$, $B(4, 1)$ e $C(1, 5)$ formam um triângulo retângulo.

A base pode ser a distância entre $A$ e $B$: $4 - 1 = 3$.

A altura pode ser a distância entre $A$ e $C$: $5 - 1 = 4$.

A área do triângulo é $A = \frac{\text{base} \times \text{altura}}{2}$.

$A = \frac{3 \times 4}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Alternativa Correta: (B)

Solução Detalhada:

A reta passa pela origem $(0, 0)$ e pelo ponto $(3, 6)$.

O coeficiente angular $m = \frac{6 - 0}{3 - 0} = \frac{6}{3} = 2$.

Como a reta passa pela origem, a equação é da forma $y = mx$.

$y = 2x$

Alternativa Correta: (A)

Solução Detalhada:

Para encontrar o ponto de interseção, igualamos as duas equações:

$x + 1 = -x + 3$

$x + x = 3 - 1$

$2x = 2$

$x = 1$

Substituímos $x = 1$ em uma das equações, por exemplo, $y = x + 1$:

$y = 1 + 1$

$y = 2$

O ponto de interseção é $(1, 2)$.

Alternativa Correta: (B)

Solução Detalhada:

A reta dada $y = x$ tem coeficiente angular $m_1 = 1$.

Para uma reta perpendicular, $m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{1}{1} = -1$.

Como a nova reta passa pela origem $(0, 0)$ e tem coeficiente angular $m = -1$, sua equação é $y = -x$.

Alternativa Correta: (A)

Solução Detalhada:

Os pontos $(0, 0)$, $(2, 0)$ e $(0, 2)$ formam um triângulo retângulo isósceles. A hipotenusa é a distância entre $(2, 0)$ e $(0, 2)$, que é $d = \sqrt{(0 - 2)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

O centro da circunferência circunscrita a um triângulo retângulo é o ponto médio da hipotenusa.

Ponto médio da hipotenusa: $x_M = \frac{2 + 0}{2} = 1$, $y_M = \frac{0 + 2}{2} = 1$. Centro $C(1, 1)$.

O raio é a metade da hipotenusa: $r = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.

Alternativa Correta: (C)