Questões de Vestibular - Geometria Plana

Solução Detalhada:

A área de um retângulo é dada pela fórmula $A = \text{comprimento} \times \text{largura}$.

Dados: Comprimento = 10 m, Largura = 8 m.

$A = 10 \times 8 = 80 \text{ m}^2$

Alternativa Correta: (B)

Solução Detalhada:

Os lados 3, 4 e 5 formam um triângulo retângulo, pois $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$ (Teorema de Pitágoras).

A área de um triângulo retângulo é dada por $A = \frac{\text{base} \times \text{altura}}{2}$. Neste caso, a base e a altura são os catetos.

$A = \frac{3 \times 4}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ cm}^2$

Alternativa Correta: (C)

Solução Detalhada:

A área de um círculo é dada pela fórmula $A = \pi r^2$, onde $r$ é o raio.

Dados: $r = 5 \text{ cm}$, $\pi \approx 3,14$.

$A = 3,14 \times (5)^2$

$A = 3,14 \times 25$

$A = 78,5 \text{ cm}^2$

Alternativa Correta: (A)

Solução Detalhada:

Em um quadrado de lado $L$, a diagonal $D$ é dada por $D = L\sqrt{2}$.

Dados: $D = 4\sqrt{2}$ cm.

$4\sqrt{2} = L\sqrt{2}$

$L = 4 \text{ cm}$

O perímetro de um quadrado é $P = 4L$.

$P = 4 \times 4 = 16 \text{ cm}$

Alternativa Correta: (B)

Solução Detalhada:

A altura $h$ de um triângulo equilátero de lado $L$ é dada pela fórmula $h = \frac{L\sqrt{3}}{2}$.

Dados: $L = 6 \text{ cm}$.

$h = \frac{6\sqrt{3}}{2}$

$h = 3\sqrt{3} \text{ cm}$

Alternativa Correta: (C)

Solução Detalhada:

Ângulos complementares são aqueles cuja soma é $90^\circ$.

Se um ângulo mede $30^\circ$, o outro ângulo $x$ satisfaz:

$x + 30^\circ = 90^\circ$

$x = 90^\circ - 30^\circ$

$x = 60^\circ$

Alternativa Correta: (A)

Solução Detalhada:

A soma dos ângulos internos de um polígono de $n$ lados é dada pela fórmula $S = (n - 2) \times 180^\circ$.

Para um pentágono, $n = 5$.

$S = (5 - 2) \times 180^\circ$

$S = 3 \times 180^\circ$

$S = 540^\circ$

Alternativa Correta: (D)

Solução Detalhada:

Pelo Teorema de Pitágoras, em um triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa ($a^2 + b^2 = c^2$).

Dados: catetos $a = 6 \text{ cm}$, $b = 8 \text{ cm}$.

$6^2 + 8^2 = c^2$

$36 + 64 = c^2$

$100 = c^2$

$c = \sqrt{100}$

$c = 10 \text{ cm}$

Alternativa Correta: (A)

Solução Detalhada:

A área de um losango é dada pela fórmula $A = \frac{D \times d}{2}$, onde $D$ e $d$ são as medidas das diagonais.

Dados: $D = 10 \text{ cm}$, $d = 8 \text{ cm}$.

$A = \frac{10 \times 8}{2}$

$A = \frac{80}{2}$

$A = 40 \text{ cm}^2$

Alternativa Correta: (B)

Solução Detalhada:

A área de um trapézio é dada pela fórmula $A = \frac{(B + b)h}{2}$, onde $B$ é a base maior, $b$ é a base menor e $h$ é a altura.

Dados: $B = 10 \text{ cm}$, $b = 6 \text{ cm}$, $h = 5 \text{ cm}$.

$A = \frac{(10 + 6)5}{2}$

$A = \frac{(16)5}{2}$

$A = \frac{80}{2}$

$A = 40 \text{ cm}^2$

Alternativa Correta: (A)

Solução Detalhada:

Em um hexágono regular inscrito em um círculo, o lado do hexágono é igual ao raio do círculo.

Dados: Raio do círculo $R = 4 \text{ cm}$.

Então, o lado do hexágono $L = 4 \text{ cm}$.

O perímetro de um hexágono regular é $P = 6L$.

$P = 6 \times 4 = 24 \text{ cm}$

Alternativa Correta: (C)

Solução Detalhada:

A área de um setor circular é dada pela fórmula $A = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2$, onde $\theta$ é o ângulo central em graus e $r$ é o raio.

Dados: $\theta = 60^\circ$, $r = 6 \text{ cm}$, $\pi \approx 3,14$.

$A = \frac{60}{360} \times 3,14 \times (6)^2$

$A = \frac{1}{6} \times 3,14 \times 36$

$A = 3,14 \times 6$

$A = 18,84 \text{ cm}^2$

Alternativa Correta: (B)

Solução Detalhada:

A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre $180^\circ$.

Seja $x$ a medida do terceiro ângulo.

$45^\circ + 75^\circ + x = 180^\circ$

$120^\circ + x = 180^\circ$

$x = 180^\circ - 120^\circ$

$x = 60^\circ$

Alternativa Correta: (D)

Solução Detalhada:

O número de diagonais $D$ de um polígono de $n$ lados é dado pela fórmula $D = \frac{n(n - 3)}{2}$.

Dados: $D = 9$.

$9 = \frac{n(n - 3)}{2}$

$18 = n(n - 3)$

$18 = n^2 - 3n$

$n^2 - 3n - 18 = 0$

Usando a fórmula de Bhaskara ou fatorando:

$(n - 6)(n + 3) = 0$

As soluções são $n = 6$ ou $n = -3$. Como o número de lados não pode ser negativo, $n = 6$.

O polígono possui 6 lados (é um hexágono).

Alternativa Correta: (A)

Solução Detalhada:

Em um triângulo equilátero, todos os lados são iguais. O perímetro $P = 3L$, onde $L$ é o lado.

Dados: $P = 18 \text{ cm}$.

$18 = 3L$

$L = 6 \text{ cm}$

A área de um triângulo equilátero de lado $L$ é dada pela fórmula $A = \frac{L^2\sqrt{3}}{4}$.

$A = \frac{(6)^2\sqrt{3}}{4}$

$A = \frac{36\sqrt{3}}{4}$

$A = 9\sqrt{3} \text{ cm}^2$

Alternativa Correta: (B)

Solução Detalhada:

A área de um paralelogramo é dada pela fórmula $A = \text{base} \times \text{altura}$.

Dados: Base = 12 cm, Altura = 7 cm.

$A = 12 \times 7 = 84 \text{ cm}^2$

Alternativa Correta: (C)

Solução Detalhada:

O comprimento de uma circunferência é dado pela fórmula $C = 2\pi r$, onde $r$ é o raio.

Dados: $r = 10 \text{ cm}$, $\pi \approx 3,14$.

$C = 2 \times 3,14 \times 10$

$C = 6,28 \times 10$

$C = 62,8 \text{ cm}$

Alternativa Correta: (A)

Solução Detalhada:

A área de um triângulo pode ser calculada pela fórmula $A = \frac{1}{2}ab\sin(\theta)$, onde $a$ e $b$ são os lados e $\theta$ é o ângulo entre eles.

Dados: $a = 7 \text{ cm}$, $b = 7 \text{ cm}$, $\theta = 120^\circ$.

Sabemos que $\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$A = \frac{1}{2} \times 7 \times 7 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$

$A = \frac{49\sqrt{3}}{4}$

$A = 12,25\sqrt{3} \text{ cm}^2$

Alternativa Correta: (B)

Solução Detalhada:

A distância do centro de um quadrado a um dos vértices é metade da diagonal do quadrado.

A diagonal $D$ de um quadrado de lado $L$ é $D = L\sqrt{2}$.

Dados: $L = 10 \text{ cm}$.

$D = 10\sqrt{2} \text{ cm}$

A distância do centro ao vértice é $\frac{D}{2}$.

Distância = $\frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \text{ cm}$

Alternativa Correta: (C)

Solução Detalhada:

A área de um setor circular pode ser calculada pela fórmula $A = \frac{1}{2} r \cdot L$, onde $r$ é o raio e $L$ é o comprimento do arco.

Dados: $r = 4 \text{ cm}$, $L = 8 \text{ cm}$.

$A = \frac{1}{2} \times 4 \times 8$

$A = 2 \times 8$

$A = 16 \text{ cm}^2$

Alternativa Correta: (A)