Álgebra · Combinatória · Demonstração Completa
Binômio de Newton
A fórmula que expande qualquer potência de uma soma — sem multiplicar repetidamente.
onde (nk) = n!k! · (n−k)!
O que afirma o Teorema?
O Binômio de Newton responde a uma pergunta aparentemente trabalhosa: como expandir (a + b)⁵ ou (a + b)¹⁰ sem multiplicar repetidamente? O teorema fornece uma fórmula direta e elegante para qualquer potência inteira não negativa n.
Cada termo da expansão tem a forma (nk) · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ, onde (nk) é o coeficiente binomial — o número de maneiras de escolher k elementos de um conjunto de n. É aqui que álgebra e combinatória se encontram de forma surpreendente.
Para todo inteiro n ≥ 0 e quaisquer números reais (ou complexos) a e b:
A expansão tem sempre n + 1 termos. Os expoentes de a decrescem de n a 0, enquanto os de b crescem de 0 a n.
O Coeficiente Binomial C(n,k)
O número (nk) — lê-se "n escolhe k" — conta quantas formas existem de escolher k objetos de um grupo de n, sem importar a ordem. É o coração do Binômio de Newton.
onde n! = n · (n−1) · (n−2) · … · 2 · 1 e 0! = 1
Calculando todos os valores C(5, k) com k = 0, 1, 2, 3, 4, 5:
(nk) = (nn−k) (simetria)
(nk) = (n−1k−1) + (n−1k) (Identidade de Pascal)
Triângulo de Pascal
O Triângulo de Pascal organiza os coeficientes binomiais visualmente: cada número é a soma dos dois acima. Cada linha n fornece exatamente os coeficientes da expansão de (a + b)ⁿ.
A linha n = 0 tem apenas o 1. A linha n = 4 tem 1 · 4 · 6 · 4 · 1 — exatamente os coeficientes de (a+b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴.
Os bordos são sempre 1 — (n0) = (nn) = 1. Os números interiores são sempre a soma dos dois acima — a Identidade de Pascal em ação visual.
Prova por Indução Matemática
Demonstraremos o Teorema por indução matemática em n, usando a Identidade de Pascal no passo indutivo.
- Caso base: n = 0 e n = 1(a + b)⁰ = 1 e (00)·a⁰·b⁰ = 1 ✓(a + b)¹ = a + b e (10)a + (11)b = a + b ✓
- Hipótese de indução Suponha que o teorema vale para algum n = m:(a + b)m = Σk=0m (mk) · am−k · bk
- Passo indutivo — mostrar para n = m+1 Multiplicamos ambos os lados por (a + b):(a+b)m+1 = (a+b) · Σ (mk) · am−kbkDistribuindo em dois somatórios separados:= Σ (mk)·am−k+1bk + Σ (mk)·am−kbk+1
- Reindexação No segundo somatório, fazemos j = k+1. Após reorganizar e separar os termos extremos (k=0 e k=m+1):= am+1 + Σk=1m [(mk) + (mk−1)] · am+1−kbk + bm+1
- Aplicando a Identidade de Pascal A identidade (mk) + (mk−1) = (m+1k) transforma o colchete:(a+b)m+1 = Σk=0m+1 (m+1k) · am+1−k · bk ∎Exatamente a fórmula do binômio para n = m+1. A prova por indução está completa.
(n−1k−1) + (n−1k) = (nk) porque ambos os lados contam o mesmo conjunto: subconjuntos de tamanho k de {1,…,n}.
O lado esquerdo separa em dois casos:
• O elemento n está no subconjunto: escolhemos os k−1 restantes de {1,…,n−1} → (n−1k−1) formas.
• O elemento n não está: escolhemos k de {1,…,n−1} → C(n−1, k) formas. Somando: C(n,k). ∎
O Termo Geral Tk+1
Em vez de expandir tudo, o Termo Geral permite calcular diretamente qualquer termo da expansão sem escrever os outros:
O 4º termo corresponde a k = 3 (T₄ = T3+1):
O expoente de x no k-ésimo termo é (6−k) + (−2)k = 6−3k. Para ser independente de x:
| k | Termo | (5k) | Pot. de a | Pot. de b |
|---|---|---|---|---|
| 0 | T₁ | 1 | a⁵ | 1 |
| 1 | T₂ | 5 | a⁴ | b |
| 2 | T₃ | 10 | a³ | b² |
| 3 | T₄ | 10 | a² | b³ |
| 4 | T₅ | 5 | a | b⁴ |
| 5 | T₆ | 1 | 1 | b⁵ |
Expansões de (a + b)ⁿ
Os coeficientes são sempre simétricos e somam 2ⁿ. As potências de a decrescem e as potências de b crescem da esquerda para a direita. Cada linha corresponde a uma linha do Triângulo de Pascal.
Expansor Algébrico do Binômio
Insira os coeficientes, variáveis e expoente. A calculadora expande simbolicamente, como se fosse feito à mão.
Identidades Notáveis
Basta fazer a = b = 1: (1+1)ⁿ = 2ⁿ.
Fazendo a=1, b=−1: (1−1)ⁿ = 0ⁿ = 0.
Para x muito pequeno, os termos de grau ≥ 2 são desprezíveis. Amplamente usado em física e engenharia.
C(n,k)·pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ é a probabilidade de exatamente k sucessos em n tentativas com probabilidade p.
Para diferenças, substituímos b por −b. Os sinais alternam:
Termos com k par são positivos; com k ímpar, negativos.
Resumo da Demonstração
- Base — verificar diretamente para n = 0 e n = 1.
- Hipótese — supor que a fórmula vale para n = m.
- Passo indutivo — multiplicar por (a+b) e distribuir em dois somatórios separados.
- Identidade de Pascal — (mk) + (mk−1) = (m+1k) unifica os somatórios num único.
- Conclusão — a fórmula vale para n = m+1; logo por indução vale para todo n ≥ 0. ∎
"O Triângulo de Pascal não é apenas um esquema de cálculo —
é um mapa de toda a aritmética combinatória."