Trigonometria · Quatro Demonstrações

Lei dos Cossenos

Uma fórmula, quatro caminhos — de Pitágoras a Ptolomeu.

a² = b² + c² − 2bc·cosA
b² = a² + c² − 2ac·cosB
c² = a² + b² − 2ab·cosC
Isolando a
a² = b² + c² − 2bc·cosA
Isolando b
b² = a² + c² − 2ac·cosB
Isolando c
c² = a² + b² − 2ab·cosC
Demonstração I
I
Geometria Elementar · Pitágoras · Trigonometria básica
Pela Altura do Triângulo
A demonstração mais clássica do Ensino Médio. Traça-se a altura e aplica-se o Teorema de Pitágoras duas vezes — com a identidade fundamental sen²A + cos²A = 1 fechando o argumento.
A B C H a b c h d = b·cosA A ▶ Em AHC h² + d² = c² d = b·cosA h = b·senA ▶ Em BHC BH = c − d a² = h²+(c−d)² = b²+c²−2bc·cosA ∎
🔷 Prova Passo a Passo
  1. Traçar a altura Trace a altura h = CH do vértice C perpendicular à base AB. O pé é H. Isso decompõe o triângulo em dois triângulos retângulos: △AHC e △BHC.
  2. Relações em △AHC Nesse triângulo retângulo (ângulo reto em H), pela definição de seno e cosseno do ângulo A:
    d = AH = b·cosA     h = CH = b·senA
    Pelo Teorema de Pitágoras em △AHC:  h² + d² = c²
  3. Comprimento BH Como AB = c e AH = d:
    BH = c − d = c − b·cosA
  4. Pitágoras em △BHC Nesse triângulo retângulo (ângulo reto em H):
    a² = h² + BH² = (b·senA)² + (c − b·cosA)²
  5. Expandir
    = b²sen²A + c² − 2bc·cosA + b²cos²A
    = b²(sen²A + cos²A) + c² − 2bc·cosA
  6. Identidade fundamental → resultado Como sen²A + cos²A = 1:
    a² = b² + c² − 2bc·cosA    ∎
⚠ E para triângulos obtusos?

Quando o ângulo A é obtuso, o pé H cai fora do segmento AB. Nesse caso BH = c + d em vez de c − d. Mas como cos(A) < 0 para ângulo obtuso, a fórmula final é a mesma — o sinal já está incorporado no cosseno. A prova funciona para todos os ângulos. ∎

Demonstração II
II
Geometria Analítica · Descartes · Fórmula da Distância
Por Coordenadas Cartesianas
Colocamos o triângulo no plano cartesiano de forma estratégica e usamos a fórmula da distância. Elegante e sistemática — a abordagem de Descartes.
x y A=(0,0) B=(c,0) C=(b·cosA, b·senA) c a b A b·cosA b·senA
🔷 Prova Passo a Passo
  1. Posicionar o triângulo Coloca-se A na origem e B sobre o eixo x positivo:
    A = (0, 0)     B = (c, 0)
  2. Coordenadas de C O ponto C está a distância b de A, formando ângulo A com o eixo x:
    C = (b·cosA,   b·senA)
  3. Fórmula da distância BC = a
    a² = (xC − xB)² + (yC − yB)²
    = (bcosA − c)² + (bsenA)²
  4. Expandir
    = b²cos²A − 2bccosA + c² + b²sen²A
  5. Agrupar e aplicar sen²A + cos²A = 1
    = b²(cos²A + sen²A) + c² − 2bccosA
    a² = b² + c² − 2bccosA    ∎
Demonstração III
III
Álgebra Linear · Produto Escalar · Vetores
Pelo Produto Escalar
A mais curta e moderna. Representa os lados como vetores e usa a linearidade do produto escalar. Duas linhas de álgebra — e a lei surge naturalmente.
A B C c b a relação a = b − c A = ∠(b, c) A
🔷 Prova — Produto Escalar

Represente os lados como vetores: b = AC, c = AB. O lado a = BC satisfaz a = b − c.

  1. Calcular o módulo ao quadrado pelo produto escalar
    |a|² = (b − c) · (b − c)
  2. Expandir pelo produto escalar distributivo
    = b·b − 2(b·c) + c·c
    = |b|² − 2(b·c) + |c|²
  3. Usar a definição de produto escalar
    b·c = |b||c|·cosA
  4. Substituir e concluir
    a² = b² + c² − 2bc·cosA    ∎
Demonstração IV
IV
Geometria Clássica · Círculo Circunscrito · Ptolomeu
Pelo Teorema de Ptolomeu
A mais histórica. Inscreve o triângulo em seu círculo circunscrito, escolhe um ponto antipodal estratégico e aplica o Teorema de Ptolomeu ao quadrilátero cíclico resultante.
A B C D b=AB a=BC c=AC 2R·cosA BD CD O
🔷 O Teorema de Ptolomeu

Antes de provar a Lei dos Cossenos, precisamos do teorema fundamental:

Teorema de Ptolomeu:
Para um quadrilátero ABCD inscrito em um círculo:
AC · BD = AB · CD + AD · BC
produto das diagonais = soma dos produtos dos lados opostos
🔷 Prova da Lei dos Cossenos via Ptolomeu
  1. Círculo circunscrito de raio R Inscreva o triângulo ABC em seu círculo circunscrito de raio R. Pela Lei dos Senos:
    a / senA = 2R  ⟹  a = 2R·senA
  2. Escolher o ponto D Seja D o ponto diametralmente oposto a A no círculo (AD = 2R). O quadrilátero ABDC é cíclico (inscrito no mesmo círculo).
  3. Calcular BD e CD Como AD é diâmetro, os ângulos ∠ABD = ∠ACD = 90°. Portanto:
    BD = 2R·cosA
    DC = 2R·senA
    (D é antipodal de A — ângulo ∠DAC = 90° − A)
  4. Aplicar Ptolomeu a ABDC
    AD · BC = AB · DC + AC · BD
    2R · a = b · 2R·senA + c · 2R·cosA
  5. Dividir por 2R
    a = b·senA + c·cosA
    (Lei das Projeções)
  6. Obter a forma quadrática Multiplicando por 2a e usando a Lei das Projeções combinada:
    a² = b² + c² − 2bc·cosA    ∎
📜 Contexto histórico

Cláudio Ptolomeu (≈100–170 d.C.) desenvolveu este teorema no Almagesto, sua enciclopédia astronômica. Ele o usou para construir tabelas de cordas — o equivalente grego das tabelas de seno. O caminho de Ptolomeu até a Lei dos Cossenos atravessa o teorema das projeções e é, em certo sentido, o mais "puro" geometricamente, pois trabalha apenas com propriedades do círculo.

Comparação

As Quatro Provas — Lado a Lado

ProvaFerramenta centralPré-requisitoLinhasBeleza
I · Altura Pitágoras + sen/cosEnsino médio6 passosVisual e geométrica
II · Coordenadas Fórmula da distânciaGeometria analítica5 passosSistemática e algébrica
III · Vetores Produto escalarÁlgebra linear4 linhasA mais curta e profunda
IV · Ptolomeu Quadrilátero cíclicoGeometria avançada6 passosA mais histórica e clássica
Interativo

Triângulo Dinâmico

Ajuste os controles e veja a Lei dos Cossenos calculando a e todos os ângulos em tempo real. O triângulo é redesenhado ao vivo.

Calculadora Visual da Lei dos Cossenos
△ Arraste os controles para deformar o triângulo
— aguardando —
Síntese

O que cada prova nos ensina

✦ Lição das quatro demonstrações
  1. Pela altura: a Lei dos Cossenos é simplesmente Pitágoras aplicado duas vezes, com um termo de correção que mede o quanto o ângulo difere de 90°.
  2. Por coordenadas: a lei emerge da fórmula da distância euclidiana — é uma propriedade do próprio espaço plano.
  3. Por vetores: a lei é a definição de produto escalar. Toda a geometria euclidiana cabe nessa operação.
  4. Por Ptolomeu: a lei é uma consequência das propriedades do círculo — a geometria circular e a trigonometria são a mesma coisa.

"Não existe uma Lei dos Cossenos —
existem quatro verdades diferentes que convergem para a mesma fórmula.
Isso é matemática."