Álgebra · Sequências · Demonstração Completa
Progressões Aritméticas e Geométricas
Adição versus multiplicação — duas estruturas que organizam o mundo em sequências.
Cresce por adição
Soma: n · (a₁ + aₙ)2
Cresce por multiplicação
Soma: a₁ · (1 − qⁿ)1 − q
Definição e Termo Geral
Uma Progressão Aritmética (PA) é uma sequência em que cada termo é obtido somando uma constante fixa — a razão r — ao termo anterior. A diferença entre dois termos consecutivos é sempre igual a r.
r = razão (constante); pode ser positiva, negativa ou zero
Exemplos de PAs: (2, 5, 8, 11, …) com r = 3 · (10, 7, 4, 1, −2, …) com r = −3 · (6, 6, 6, …) com r = 0
- Escrever os primeiros termos explicitamente Partindo de a₁ e somando r sucessivamente:a₁ = a₁
a₂ = a₁ + r
a₃ = a₁ + r + r = a₁ + 2r
a₄ = a₁ + 3r
padrão: cada termo soma mais uma cópia de r - Identificar o padrão geral O n-ésimo termo soma exatamente (n−1) cópias de r ao primeiro:aₙ = a₁ + (n−1)·r ∎
- Verificação por indução Base n = 1: a₁ = a₁ + 0·r = a₁ ✓
Passo: se aₙ = a₁ + (n−1)r, então aₙ₊₁ = aₙ + r = a₁ + (n−1)r + r = a₁ + nr ✓
Todo termo (exceto o primeiro e o último) é a média aritmética dos seus vizinhos: aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁)/2. Esta é a característica fundamental de uma PA.
Soma dos n Primeiros Termos
Conta-se que o jovem Gauss, confrontado com a tarefa de somar os números de 1 a 100, percebeu que 1+100 = 2+99 = 3+98 = … = 101, e que há 50 pares. Logo a soma é 50 × 101 = 5050. Essa ideia generaliza para qualquer PA.
- Escrever Sₙ em ordem diretaSₙ = a₁ + (a₁+r) + (a₁+2r) + … + aₙ
- Escrever Sₙ em ordem inversaSₙ = aₙ + (aₙ−r) + (aₙ−2r) + … + a₁
- Somar as duas linhas, coluna a coluna Cada par de termos alinhados soma a₁ + aₙ — e há exatamente n pares:2·Sₙ = (a₁+aₙ) + (a₁+aₙ) + … + (a₁+aₙ) = n·(a₁ + aₙ)
- Dividir por 2 — resultado final ∎Sₙ = n · (a₁ + aₙ)2Substituindo aₙ = a₁ + (n−1)r:Sₙ = n · (2a₁ + (n−1)·r)2
A soma Sₙ = n·(a₁+aₙ)/2 é exatamente a fórmula da área de um trapézio com bases a₁ e aₙ e altura n. Quando os termos da PA são representados como barras de altura crescente, formam um trapézio — e Sₙ é sua área.
Sₙ = 100 · (1 + 100)2 = 100 · 1012 = 5050
Definição e Termo Geral
Uma Progressão Geométrica (PG) é uma sequência em que cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma constante — a razão q. O quociente entre dois termos consecutivos é sempre igual a q.
q = razão geométrica (constante multiplicativa)
Exemplos de PGs: (1, 2, 4, 8, 16, …) com q = 2 · (81, 27, 9, 3, 1, …) com q = 1/3 · (1, −1, 1, −1, …) com q = −1
- Escrever os primeiros termosa₁ = a₁
a₂ = a₁ · q
a₃ = a₁ · q²
a₄ = a₁ · q³
padrão: o expoente de q é sempre o índice menos 1 - Termo geral O n-ésimo termo multiplica a₁ por q exatamente (n−1) vezes:aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹ ∎
| Razão q | Comportamento da sequência | Exemplo |
|---|---|---|
| q > 1 | Crescimento exponencial | 2, 4, 8, 16… |
| 0 < q < 1 | Decrescimento → 0 | 8, 4, 2, 1, ½… |
| q = 1 | Constante | 5, 5, 5, 5… |
| −1 < q < 0 | Oscila e decai → 0 | 4, −2, 1, −½… |
| q = −1 | Alterna ±a₁ | 3, −3, 3, −3… |
| q < −1 | Oscila e diverge | 1, −3, 9, −27… |
Todo termo (exceto o primeiro e o último) é a média geométrica dos seus vizinhos: aₙ = √(aₙ₋₁ · aₙ₊₁). Esta é a característica fundamental de uma PG — análoga à média aritmética na PA.
Soma dos n Primeiros Termos
Escrevemos Sₙ e q·Sₙ e subtraímos — a maioria dos termos se cancela em pares, restando apenas o primeiro e o último. Uma das deduções mais elegantes e limpas de todo o ensino médio.
- Escrever SₙSₙ = a₁ + a₁q + a₁q² + a₁q³ + … + a₁qⁿ⁻¹
- Multiplicar toda a soma por qq·Sₙ = a₁q + a₁q² + a₁q³ + … + a₁qⁿ⁻¹ + a₁qⁿ
- Subtrair: Sₙ − q·Sₙ Todos os termos intermediários a₁q, a₁q², …, a₁qⁿ⁻¹ se cancelam em pares:Sₙ − q·Sₙ = a₁ − a₁qⁿ
Sₙ · (1 − q) = a₁ · (1 − qⁿ) - Dividir por (1−q) — resultado final ∎Sₙ = a₁ · (1 − qⁿ)1 − qForma equivalente (multiplicando numerador e denominador por −1):Sₙ = a₁ · (qⁿ − 1)q − 1
Se q = 1, todos os termos são iguais a a₁ e a subtração Sₙ − q·Sₙ daria 0 = 0. Nesse caso usamos diretamente:
Sₙ = 1 · (2⁶ − 1)2 − 1 = 64 − 11 = 63
verificação: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63 ✓
Soma de Infinitos Termos
Quando |q| < 1, os termos da PG vão se tornando cada vez menores e convergindo para zero. A soma de infinitos termos converge para um valor finito — um resultado que parece impossível à primeira vista.
- Partir da fórmula de Sₙ (para q ≠ 1)Sₙ = a₁ · (1 − qⁿ)1 − q
- Analisar qⁿ quando n → ∞ Se |q| < 1, então |q|ⁿ → 0 quando n → ∞. Por exemplo: (½)¹⁰ = 1/1024 ≈ 0,001 · (½)¹⁰⁰ ≈ 10⁻³⁰ — praticamente zero.|q| < 1 ⟹ qⁿ → 0 quando n → ∞
- Tomar o limite — resultado final ∎S∞ = a₁1 − q (para |q| < 1)
S∞ = 11 − ½ = 1½ = 2
A soma de infinitas potências de ½ é exatamente 2.
| Condição | Sₙ quando n → ∞ | S∞ |
|---|---|---|
| |q| < 1 | Converge | a₁1 − q |
| |q| = 1 | Diverge (oscila ou cresce) | Não existe |
| |q| > 1 | Diverge para ±∞ | Não existe |
Tome um quadrado de lado 1. Divida-o ao meio, depois divida a metade restante ao meio, e assim por diante. As áreas somadas são:
As fatias infinitas preenchem exatamente o quadrado inteiro — área total 1. ✓
PA vs. PG — Lado a Lado
| Propriedade | PA (Aritmética) | PG (Geométrica) |
|---|---|---|
| Operação | Adição (+ r) | Multiplicação (× q) |
| Crescimento | Linear | Exponencial |
| Termo geral | a₁ + (n−1)·r | a₁ · qⁿ⁻¹ |
| Soma Sₙ | n · (a₁ + aₙ)2 | a₁ · (1 − qⁿ)1 − q |
| Soma infinita | Só se r = 0 | a₁1 − q (se |q|<1) |
| Média entre vizinhos | Aritmética: aₙ | Geométrica: √(aₙ₋₁·aₙ₊₁) |
| Prova da soma | Inversão (Gauss) | Multiplicação por q |
Se a₁, a₂, …, aₙ estão em PG com razão q, então log(a₁), log(a₂), …, log(aₙ) estão em PA com razão log(q).
O logaritmo é a operação que converte multiplicação em adição — e por isso transforma geometricamente uma PG numa PA. Essa é a razão histórica pela qual os logaritmos foram inventados: para simplificar cálculos com PGs.
Calculadora de Progressões
Escolha o tipo, informe os parâmetros e calcule o termo geral, a soma dos n primeiros termos e a sequência.