Álgebra · Polinômios · Demonstração em Dois Sentidos
Teorema de D'Alembert
A condição necessária e suficiente para que um número seja raiz de um polinômio.
O que é o Teorema de D'Alembert?
O Teorema de D'Alembert, também chamado de Teorema do Resto ou Teorema das Raízes, estabelece uma condição necessária e suficiente para que um número a seja raiz de um polinômio P(x).
Quando dividimos P(x) por um divisor linear (x − a), o resultado tem sempre a forma:
onde Q(x) é o quociente e R é uma constante (o resto). O teorema afirma que esse resto R é exatamente P(a). Portanto P(x) é divisível por (x − a) se e somente se P(a) = 0.
D'Alembert foi um dos grandes matemáticos do Iluminismo francês. Além deste teorema, é celebrado por contribuições ao Teorema Fundamental da Álgebra (que tentou demonstrar em 1746), por obras de mecânica e pelo monumental Encyclopédie co-editado com Diderot.
O resultado que hoje leva seu nome é consequência direta do Teorema do Resto, formalizado rigorosamente por Gauss no século XIX — mas a intuição essencial já estava clara nos trabalhos de D'Alembert.
· Encontrar raízes: Testando P(a) = 0 para candidatos a, encontramos fatores lineares.
· Fatoração progressiva: Cada raiz encontrada reduz o grau do polinômio por 1.
· Briot-Ruffini: A divisão sintética é uma aplicação direta deste teorema.
· Equações algébricas: Resolver P(x) = 0 se torna buscar divisores da forma (x − a).
Pré-Requisitos
Um polinômio de grau n é uma expressão da forma:
Os aₖ são os coeficientes (reais ou complexos), n é o grau (denotado ∂P). Exemplos: P(x) = x³ − 3x + 2 tem grau 3; Q(x) = 5x² + 2x − 7 tem grau 2.
Dados P(x) e D(x) com ∂D ≤ ∂P, existem únicos Q(x) e R(x) tais que:
Quando o divisor é linear — D(x) = (x − a) — o resto tem grau menor que 1, logo é uma constante:
A existência e unicidade desta decomposição são garantidas pelo Algoritmo da Divisão — um teorema fundamental que aceitamos sem re-demonstrar aqui.
Um número a é raiz (ou zero) de P(x) se:
Exemplos: a = 2 é raiz de P(x) = x² − 4 pois P(2) = 4 − 4 = 0. E a = −1 é raiz de P(x) = x³ − x pois P(−1) = −1 + 1 = 0.
P(x) é divisível por (x − a) quando:
Notação: (x − a) | P(x). Exemplo: (x − 2) | (x² − 4) pois x² − 4 = (x−2)(x+2). Já (x − 3) não divide x² − 4 pois P(3) = 9 − 4 = 5 ≠ 0.
O Teorema
Seja a um número (real ou complexo).
(x − a) divide P(x) ⟺ P(a) = 0
Sentido ⟸: Se P(a) = 0, então (x − a) | P(x)
Ambos os sentidos serão demonstrados na próxima seção. Cada um tem sua própria lógica — mas a ideia central é a mesma.
| Linguagem da Divisão | Linguagem das Raízes |
|---|---|
| (x − a) é fator de P(x) | a é raiz de P(x) |
| P(x) = (x − a)·Q(x) | P(a) = 0 |
| Resto da divisão é zero | Substituir x = a anula o polinômio |
Uma versão ligeiramente mais geral afirma que o resto da divisão de P(x) por (x − a) é sempre igual a P(a):
D'Alembert é o caso especial em que R = P(a) = 0. O Teorema do Resto implica D'Alembert.
1. O teorema é apenas para divisores lineares da forma (x − a). Para divisores de grau ≥ 2, existem generalizações mais complexas.
2. O número a pode ser qualquer número real ou complexo — não precisa ser inteiro ou racional.
Prova — Dois Sentidos
A estratégia central é a mesma nos dois sentidos: usar a identidade da divisão P(x) = (x − a)·Q(x) + R e substituir x = a. O fator (a − a) = 0 elimina o quociente e deixa apenas R = P(a).
- Hipótese de partida: assumir a divisibilidade Por hipótese, (x − a) divide P(x). Pela definição, existe Q(x) tal que:P(x) = (x − a) · Q(x) (sem resto)
- Substituir x = a na identidade A identidade vale para todo valor de x. Em particular, para x = a:P(a) = (a − a) · Q(a) = 0 · Q(a) = 0Portanto P(a) = 0. ✓
✓ Sentido ⟹ demonstrado: (x−a) | P(x) ⟹ P(a) = 0 ∎
Este sentido é mais sutil — precisamos mostrar que a condição P(a) = 0 força o resto a ser zero.
- Usar o Algoritmo da Divisão Pelo Algoritmo da Divisão de Polinômios, sempre é possível escrever:P(x) = (x − a) · Q(x) + Ronde Q(x) é o quociente e R é uma constante (grau 0, pois o divisor tem grau 1).
- Substituir x = a e identificar R Substituindo x = a na identidade da divisão:P(a) = (a − a) · Q(a) + RIsso prova o Teorema do Resto: o resto da divisão de P(x) por (x − a) é sempre P(a).
P(a) = 0 · Q(a) + R
P(a) = R - Usar a hipótese P(a) = 0 para concluir Por hipótese, P(a) = 0. Combinando com R = P(a):R = P(a) = 0A identidade da divisão se torna:P(x) = (x − a) · Q(x) + 0 = (x − a) · Q(x)Por definição, (x − a) divide P(x). ✓
✓ Sentido ⟸ demonstrado: P(a) = 0 ⟹ (x−a) | P(x) ∎
A prova inteira se resume a uma ideia: substituir x = a na identidade P(x) = (x−a)·Q(x) + R. O fator (a−a) = 0 elimina o quociente e deixa R = P(a).
Regra de Briot-Ruffini
A Regra de Briot-Ruffini (divisão sintética) é um algoritmo rápido para dividir P(x) por (x − a), muito mais ágil do que a divisão longa. É uma aplicação direta do Teorema de D'Alembert.
- Escrever todos os coeficientes de P(x) em uma linha, incluindo zeros para graus ausentes.
- Escrever o valor a (zero do divisor) à esquerda.
- Baixar o primeiro coeficiente diretamente.
- Multiplicar pelo valor a e somar ao próximo coeficiente. Repetir até o final.
- O último número é o resto R = P(a). Os demais são os coeficientes de Q(x).
Verificação: P(3) = 27 − 18 − 15 + 6 = 0 ✓ → a = 3 é raiz. Aplicando Briot-Ruffini:
| a = 3 | 1 | −2 | −5 | 6 |
| ↓ | +3 | +3 | −6 | |
| 1 | 1 | −2 | 0 | |
| x² | x¹ | x⁰ | Resto |
Quociente Q(x) = x² + x − 2, Resto = 0. Portanto:
Raízes: x = 3, x = −2 e x = 1.
Briot-Ruffini é exatamente a multiplicação (x − a)·Q(x) feita "de trás para frente". O algoritmo constrói os coeficientes de Q(x) de forma que o produto (x − a)·Q(x) reproduza todos os coeficientes de P(x). O último valor calculado é o resto — que o Teorema do Resto garante ser igual a P(a).
Exemplos Resolvidos
P(x) = x³ − 7x + 6. Testar (x − 2) e (x − 4):
P(4) = 64 − 28 + 6 = 42 ≠ 0 ✗ ⟹ (x − 4) ∤ P(x)
Com Briot-Ruffini para a = 2:
P(x) = x⁴ − 5x² + 4. Candidatos pelo Teorema das Raízes Racionais: ±1, ±2, ±4.
P(−1) = 1 − 5 + 4 = 0 ✓
P(2) = 16 − 20 + 4 = 0 ✓
P(−2) = 16 − 20 + 4 = 0 ✓
P(x) = x³ + kx² − x + 6, sabendo que a = 2 é raiz. Como P(2) = 0:
12 + 4k = 0 → k = −3
P(x) = x³ − 3x² − x + 6. Verificação: P(2) = 8 − 12 − 2 + 6 = 0 ✓
P(x) = x³ − 3x + 2. Verificar a = 1 como raiz dupla:
Testando a = 1 em Q(x) = x² + x − 2: Q(1) = 1 + 1 − 2 = 0 ✓. Portanto:
x = 1 é raiz dupla (multiplicidade 2); x = −2 é raiz simples.
P(x) = x² + x + 1. Discriminante Δ = 1 − 4 = −3 < 0.
Portanto P(a) ≠ 0 para todo a real. Pelo teorema, nenhum fator linear real divide P(x). As raízes complexas são x = (−1 ± i√3)/2 — um par conjugado, como esperado.
Calculadora — Teorema de D'Alembert
Digite os coeficientes de um polinômio de grau 3 e um candidato a raiz. A calculadora verifica pelo teorema e aplica Briot-Ruffini se for raiz.
Consequências do Teorema
Combinando D'Alembert com o Teorema Fundamental da Álgebra, todo polinômio de grau n pode ser fatorado em exatamente n fatores lineares sobre ℂ:
Cada raiz encontrada via D'Alembert "descasca" um fator linear e reduz o grau em 1 — até a fatoração completa.
Um polinômio de grau n tem no máximo n raízes distintas. Se tivesse n+1 raízes, teríamos n+1 fatores lineares, tornando o grau pelo menos n+1 — contradição.
Corolário: se P(x) = 0 para infinitos valores de x, então P(x) é o polinômio nulo (todos os coeficientes zero).
Estratégia: encontrar r₁, fatorar (x−r₁) fora, reduzir o grau, repetir com o quociente.
Para polinômios com coeficientes inteiros, as raízes racionais p/q (irredutível) satisfazem:
Isso limita a busca a um conjunto finito de candidatos, que são testados via D'Alembert: basta calcular P(p/q) para cada um.
a é raiz de multiplicidade m de P(x) se (x−a)ᵐ | P(x) mas (x−a)ᵐ⁺¹ ∤ P(x). Equivalentemente:
A soma de todas as multiplicidades é sempre igual ao grau do polinômio.