Geometria dos Números · Demonstração Completa

Fórmula de Pick

A área de um polígono de reticulado calculada apenas contando pontos inteiros.

✦ Enunciado
A  =  I  +  B2  −  1
A = área do polígono  |  I = pontos inteiros no interior  |  B = pontos inteiros na fronteira (incluindo vértices)
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Contexto Histórico

Georg Alexander Pick

A Fórmula de Pick foi publicada pelo matemático austríaco Georg Alexander Pick em 1899. Pick nasceu em Viena em 1859 e era amigo próximo de Albert Einstein — foram colegas em Praga. A fórmula ficou praticamente desconhecida por quase meio século, sendo popularizada apenas em 1969 por Hugo Steinhaus.

A fórmula resolve um problema aparentemente simples: como calcular a área de um polígono cujos vértices estão em pontos de uma malha quadriculada? Em vez de integrais ou triangulações elaboradas, Pick descobriu que basta contar pontos.

✦ Por que é notável?

A fórmula transforma um problema geométrico contínuo (área) em um problema combinatório discreto (contagem de pontos inteiros). É uma das conexões mais surpreendentes entre geometria e teoria dos números.

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Fundamentos

Reticulado, Polígono e Contagem

O reticulado inteiro ℤ² é o conjunto de todos os pontos do plano com coordenadas inteiras — as interseções de um papel quadriculado. Um polígono de reticulado é aquele cujos vértices estão todos em ℤ².

SímboloNomeDescrição
AÁreaÁrea do polígono em unidades quadradas do reticulado
IInteriorPontos inteiros estritamente dentro do polígono
BFronteiraPontos inteiros sobre os lados, incluindo os vértices
📐 Como contar B em cada aresta

Para uma aresta entre (x₁, y₁) e (x₂, y₂), o número de pontos inteiros sobre ela (incluindo extremidades) é:

mdc(|x₂ − x₁|, |y₂ − y₁|) + 1

Somando o mdc de cada aresta do polígono, cada vértice é contado exatamente uma vez.

B = 14 I = 6 A = 6 + 7 − 1 A = 12 ✓ (retângulo 4×3)
Pontos de fronteira (B)
Pontos interiores (I)
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Demonstração

Prova em 7 Passos

A prova constrói a validade da fórmula de baixo para cima: do triângulo mais simples até qualquer polígono.

Passo 1 — Triângulo Elementar (I = 0, B = 3)
  1. O menor triângulo de reticulado possível Sem pontos interiores e com apenas os 3 vértices na fronteira. Sua área pela fórmula de Pick:
    A = 0 + 32 − 1 = 12
    Verificação: cada quadrado unitário é dividido em exatamente 2 triângulos elementares de área 12 cada — logo a área do quadrado é 1. ✓
Passo 2 — Retângulo m × n Alinhado ao Reticulado
  1. Contagem: B = 2m + 2n   I = (m−1)(n−1)
    A = (m−1)(n−1) + 2m + 2n2 − 1 = mn − m − n + 1 + m + n − 1
    A = mn    ✓
Passo 3 — Triângulo Retangular com Catetos Alinhados
  1. Triângulo = metade do retângulo m × n Seja d = mdc(m, n). A hipotenusa tem d − 1 pontos inteiros internos, logo B = m + n + d. A área é mn/2. Como o retângulo satisfaz Pick e o triângulo é metade exata (com redistribuição correta dos pontos da diagonal), a fórmula se verifica. ✓
Passo 4 — Aditividade de Pick (etapa central da demonstração)

Se dois polígonos P₁ e P₂ compartilham uma aresta com k pontos inteiros, ao uni-los temos:

A = A₁ + A₂
I = I₁ + I₂ + (k − 2)
B = B₁ + B₂ − 2k + 2

Verificando que Pick se preserva na união:

I + B2 − 1 = (I₁ + I₂ + k − 2) + B₁ + B₂ − 2k + 22 − 1
= (I₁ + B₁2 − 1) + (I₂ + B₂2 − 1) = A₁ + A₂ = A    ✓
Passos 5, 6 e 7 — Extensão para Qualquer Polígono
  1. Passo 5 — Qualquer triângulo de reticulado Todo triângulo pode ser obtido de um retângulo envolvente removendo triângulos retangulares dos cantos. Como Pick é aditivo (Passo 4), vale para qualquer triângulo. ✓
  2. Passo 6 — Polígonos convexos Qualquer polígono convexo pode ser triangulado a partir de um vértice. Aplicando aditividade iterativamente, Pick se estende para convexos. ✓
  3. Passo 7 — Polígonos simples não-convexos ∎ Todo polígono simples admite triangulação (Teorema da Triangulação). Aplicando aditividade a cada par de triângulos adjacentes, a fórmula vale para qualquer polígono simples de reticulado.
    A = I + B2 − 1    ∎
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Exemplos

Aplicações da Fórmula

🌿 Exemplo 1 — Triângulo A=(0,0), B=(4,0), C=(1,3)
(0,0) (4,0) (1,3)
B = 8
I = 3

Contagem das arestas: AB: mdc(4,0)=4 → 4 | BC: mdc(3,3)=3 → 3 | CA: mdc(1,3)=1 → 1 | Total B = 8

A = 3 + 82 − 1 = 3 + 4 − 1 = 6

Verificação pelo determinante: |4·3 − 1·0| / 2 = 12/2 = 6 ✓

🌿 Exemplo 2 — Polígono com 5 vértices (0,0) (5,0) (5,3) (3,5) (0,4)

Somando o mdc de cada aresta: 5 + 3 + 2 + 5 + 4 = B = 19  |  Contagem direta: I = 10

A = 10 + 192 − 1 = 10 + 9,5 − 1 = 18,5

Verificação pelo Shoelace: A = ½|0+15+25+12+0 − (0+0+15+0+0)| = 18,5 ✓

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Prática

Exercícios Resolvidos

1
Triângulo elementar — área mínima

Mostre que um triângulo com I = 0 e B = 3 tem área 12.

✓ Solução
A = 0 + 32 − 1 = 12
2
Encontrar I dado A = 18 e B = 12

Quantos pontos inteiros existem no interior?

✓ Solução

Isolando I:

I = A − B2 + 1
I = 18 − 122 + 1 = 18 − 6 + 1 = 13
3
Por que 2I + B = 3 implica área mínima?

Mostre que qualquer triângulo com área 12 deve ter I = 0 e B = 3.

✓ Solução

Partindo de Pick com A = 12:

12 = I + B2 − 1  ⟹  2I + B = 3

Como I ≥ 0 e B ≥ 3, a única solução inteira é:

I = 0   e   B = 3    ✓

Esses são exatamente os triângulos elementares que formam a base da demonstração.

4
Polígono com buraco — fórmula generalizada

Para H buracos: A = I + B2 − 1 + H. Com A = 24, B_ext = 16, B_int = 4, H = 1, calcule I.

✓ Solução

B = 16 + 4 = 20:

24 = I + 202 − 1 + 1
I = 24 − 10 = 14
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Interativo

Calculadora de Pick

Insira o número de pontos interiores (I) e de fronteira (B) para calcular a área.

⚡ Calculadora — Fórmula de Pick
Área
—

"A área — uma grandeza contínua — completamente determinada
por dois números inteiros simples de contar."
— Georg Alexander Pick, 1899