Geometria · Demonstração Completa

Fórmula de Heron

A área de qualquer triângulo a partir apenas dos três lados — sem precisar da altura.

✦ Enunciado

A = s(s−a)(s−b)(s−c)

s = a + b + c2

onde s é o semiperímetro e a, b, c são os três lados do triângulo.

Ponto de Partida

Geometria do triângulo

Considere um triângulo com lados a, b e c. Traçamos a altura h relativa à base c. O pé da altura divide a base em dois segmentos — chamamos o da esquerda de d.

💡 Relação chave — via Pitágoras

Dos dois triângulos retângulos formados pela altura (h² = a² − d² e h² = b² − (c−d)²), isolando d:

d = a² + c² − b²2c

Esta é a mesma expressão que surge na Lei dos Cossenos. É o ponto de partida de toda a demonstração.

Demonstração

Derivação passo a passo

Passo 1 — Expressando h² como diferença de quadrados

h² = a² − d² = (a + d)(a − d) Substituímos o valor de d encontrado acima:
h² = (a + d)(a − d) com d = (a² + c² − b²) / (2c)
Fator esquerdo — denominador 2c
a + d = (2ac + a² + c² − b²) / (2c) = [(a+c)² − b²] / (2c)
Fator direito — denominador 2c
a − d = (2ac − a² − c² + b²) / (2c) = [b² − (a−c)²] / (2c)
Resultado intermediário
h² = [(a+c)² − b²] · [b² − (a−c)²]4c²

Passo 2 — X² − Y² = (X+Y)(X−Y) nos numeradores

Numerador 1: (a+c)² − b²
(a+c)² − b² = (a+c+b)(a+c−b)
Numerador 2: b² − (a−c)²
b² − (a−c)² = (b+a−c)(b−a+c)
Os quatro fatores reunidos
h² = (a+b+c)(a+c−b)(b+a−c)(b−a+c)4c²

Passo 3 — Introduzindo o semiperímetro s = (a+b+c)/2

Cada fator do numerador reescrito em termos de s:

Fator	Transformação	Resultado
(a+b+c)	= 2s	2s
(a+c−b)	= 2s − 2b	2(s−b)
(a+b−c)	= 2s − 2c	2(s−c)
(b+c−a)	= 2s − 2a	2(s−a)

Produto dos coeficientes: 2 × 2 × 2 × 2 = 16, dividido por 4c²:

h² = 4s(s−a)(s−b)(s−c)c²

Passo 4 — Calculando a área ✦ Conclusão

A = (c · h) / 2 ⟹ A² = c²h² / 4
Substituir h² do Passo 3
A² = c²4 · 4s(s−a)(s−b)(s−c)c²
Cancelar c² e o fator 4
A² = s(s−a)(s−b)(s−c)
Extrair a raiz quadrada (área é positiva)
A = s(s−a)(s−b)(s−c) ∎

Exemplos

Aplicações da Fórmula

🌿 Exemplo 1 — Triângulo 3, 4, 5

a=3, b=4, c=5 → s = (3+4+5)/2 = 6

A = 6 · 3 · 2 · 1 = 36 = 6

Verificação: A = (3 × 4) / 2 = 6 ✓

🌿 Exemplo 2 — Triângulo equilátero de lado a

s = 3a/2. Substituindo na fórmula de Heron:

A = 3a2 · a2 · a2 · a2 = 3a⁴16 = a²√34

Este é o resultado clássico para a área do triângulo equilátero.

🌿 Exemplo 3 — Triângulo escaleno 5, 6, 7

s = (5+6+7)/2 = 9

A = 9 · 4 · 3 · 2 = 216 = 66 ≈ 14,70

Interativo

Calculadora de Heron

Digite os três lados do triângulo. A calculadora aplica a fórmula de Heron e mostra todos os passos intermediários.

⚡ Calculadora — Fórmula de Heron

Lado a

Lado b

Lado c

Área

—

Contexto Histórico

Heron de Alexandria

Heron de Alexandria (c. 10–70 d.C.) foi um matemático e engenheiro grego. A fórmula aparece em sua obra Metrica (c. 60 d.C.). A demonstração usa apenas o Teorema de Pitágoras e álgebra elementar — sem nenhuma trigonometria.

✦ Generalização

A Fórmula de Brahmagupta (século VII) estende o resultado de Heron para quadriláteros cíclicos: A = (s−a)(s−b)(s−c)(s−d), onde s = (a+b+c+d)/2. Quando d = 0 ela se reduz à fórmula de Heron.

"Toda a beleza da fórmula está no cancelamento final —
a complexidade desaparece e resta apenas a elegância."