Geometria · Quadriláteros Cíclicos

Fórmula de Brahmagupta

A área de um quadrilátero inscrito num círculo — expressa apenas pelos quatro lados.

✦ Enunciado
K = (s−a)(s−b)(s−c)(s−d)
s = a+b+c+d2
onde ABCD é um quadrilátero cíclico com lados a, b, c, d e s é o semiperímetro.
1
Contexto Histórico

Brahmagupta e o Brahmasphutasiddhanta

Brahmagupta (598–668 d.C.) foi um dos maiores matemáticos e astrônomos da Índia clássica. Em sua obra Brahmasphutasiddhanta ("O Universo Corretamente Estabelecido"), escrita em 628 d.C., ele apresentou a fórmula que leva seu nome para a área de quadriláteros cíclicos.

Brahmagupta já conhecia a Fórmula de Heron para triângulos e percebeu que ela era um caso particular de um resultado muito mais geral. Sua genialidade foi notar que a condição de o quadrilátero ser inscritível numa circunferência era exatamente a hipótese que permitia calcular a área apenas com os lados.

✦ Por que é profunda?

Em geral, um quadrilátero com lados fixos pode ter infinitas formas e, portanto, infinitas áreas. O quadrilátero cíclico é o único que maximiza a área dentre todos os quadriláteros com os mesmos lados — e essa área máxima é exatamente o que a fórmula de Brahmagupta calcula.

2
Fundamentos

Quadrilátero Cíclico e Semiperímetro

Um quadrilátero é cíclico quando existe uma circunferência que passa pelos seus quatro vértices. A condição equivalente é:

∠A + ∠C = 180°    e    ∠B + ∠D = 180°

Ou seja, os ângulos opostos são suplementares. Essa propriedade é a chave de toda a demonstração.

a b c d A B C D O ∠A + ∠C = 180°   ∠B + ∠D = 180°
Conexão com Heron

A Fórmula de Heron é um caso particular de Brahmagupta com d = 0: o quarto lado desaparece, o quadrilátero vira triângulo e (s−d) → s:

(s−a)(s−b)(s−c)(s−0) = s(s−a)(s−b)(s−c)    ✓
SímboloNomeDescrição
KÁreaÁrea do quadrilátero cíclico
a, b, c, dLadosComprimentos dos quatro lados consecutivos
sSemiperímetros = (a+b+c+d)/2
(s−a), …ExcessosSempre positivos para quadrilátero válido
3
Demonstração

Prova Passo a Passo

A estratégia é dividir o quadrilátero pela diagonal, expressar a área com a Lei dos Cossenos, usar a propriedade cíclica (ângulos opostos suplementares) e eliminar o ângulo por álgebra.

Passos 1–2 — Área e propriedade cíclica
  1. Triangulação pela diagonal p = AC A área total é a soma das áreas dos dois triângulos:
    K = K₁ + K₂ = ½ab·sin B + ½cd·sin D
  2. ∠B + ∠D = 180° → sin D = sin B Como o quadrilátero é cíclico, ∠D = 180° − ∠B, portanto sin D = sin B. A área simplifica:
    K = 12(ab + cd) · sin B
Passos 3–4 — Lei dos Cossenos e isolamento de cos B
  1. p² nos dois triângulos (cos D = −cos B)
    △ABC:   p² = a² + b² − 2ab·cos B
    △ACD:   p² = c² + d² + 2cd·cos B
    Igualando as duas expressões para p²:
    a² + b² − 2ab·cos B = c² + d² + 2cd·cos B
  2. Isolar cos B
    cos B = (a² + b² − c² − d²) / [2(ab + cd)]
Passos 5–7 — K² como diferença de quadrados
  1. De K = ½(ab+cd)·sin B → 4K² = (ab+cd)²·sin²B
    4K² = (ab+cd)²(1 − cos²B)
    Substituindo cos B e multiplicando por 4:
    16K² = [2(ab+cd)]² − (a²+b²−c²−d²)²
  2. Fatorar como X²−Y² = (X+Y)(X−Y)
    Fator₁ = (a+b)²−(c−d)² = (a+b+c−d)(a+b−c+d)
    Fator₂ = (c+d)²−(a−b)² = (c+d+a−b)(c+d−a+b)
  3. Reescrever com s = (a+b+c+d)/2
    a+b+c−d = 2(s−d)    a+b−c+d = 2(s−c)
    a−b+c+d = 2(s−b)    −a+b+c+d = 2(s−a)
    16K² = 16(s−a)(s−b)(s−c)(s−d)
Passo 8 — Conclusão ✦
  1. Dividir por 16 e extrair a raiz
    K² = (s−a)(s−b)(s−c)(s−d)  ⟹  K = (s−a)(s−b)(s−c)(s−d) ∎
    A chave foi sin B = sin D (da condição cíclica) que permitiu expressar tudo com um único ângulo e depois eliminá-lo pela Lei dos Cossenos.
4
Casos Especiais

Casos Notáveis

Triângulo — d = 0 → Fórmula de Heron

Com d = 0, s = (a+b+c)/2 e (s−d) = s:

K = s(s−a)(s−b)(s−c)    ✓
Retângulo — a = c, b = d → K = ab

Com s = a+b:

K = (s−a)(s−b)(s−a)(s−b) = (s−a)(s−b) = b·a = ab    ✓
Quadrado — a = b = c = d = L → K = L²

Com s = 2L, todos os fatores iguais a L:

K = L·L·L·L = L²    ✓
Trapézio isósceles cíclico — a = b = p, c = d = q → K = pq

Com s = p+q, os fatores são q, q, p, p:

K = q·q·p·p = pq

Para p = q (quadrado): K = p². Notavelmente simétrico.

✦ Teorema de Maximização

Dentre todos os quadriláteros com lados a, b, c, d fixos (na mesma ordem), o quadrilátero cíclico possui a maior área possível. A fórmula de Brahmagupta calcula exatamente essa área máxima.

5
Prática

Exercícios Resolvidos

1
Quadrilátero cíclico a=3, b=4, c=6, d=5

Calcule a área do quadrilátero cíclico com lados a=3, b=4, c=6, d=5.

✓ Solução

Semiperímetro:

s = (3+4+6+5)/2 = 9

Fatores: s−a=6, s−b=5, s−c=3, s−d=4

K = 6×5×3×4 = 360 = 610 ≈ 18,97
2
Retângulo 7×4 — verificação

Verifique que Brahmagupta com lados 7, 4, 7, 4 fornece a área correta.

✓ Solução
s = (7+4+7+4)/2 = 11

s−7=4, s−4=7, s−7=4, s−4=7

K = 4×7×4×7 = 784 = 28 = 7×4    ✓
3
Recuperar lado desconhecido

K=30, a=5, b=6, c=5. Determine d.

✓ Solução

s = (16+d)/2 = 8+d/2. Com t = d/2, a equação K²=900 fica:

(3+t)²(2+t)(8−t) = 900

Testando d=6 → t=3:   6²×5×5 = 36×25 = 900 ✓

d = 6
4
Heron como caso particular — triângulo 5, 12, 13

Mostre que Brahmagupta com d=0 coincide com Heron para o triângulo 5–12–13.

✓ Solução

Brahmagupta com d=0:

s = (5+12+13)/2 = 15
K = 10·3·2·15 = 900 = 30

Heron diretamente:

K = 15·10·3·2 = 900 = 30 ✓

Verificação (retângulo): 5²+12²=169=13² → K = 5×12/2 = 30 ✓

Os três métodos convergem para K = 30 ✓
6
Interativo

Calculadora de Brahmagupta

Insira os quatro lados do quadrilátero cíclico e calcule a área com passo a passo.

⚡ Calculadora — Fórmula de Brahmagupta
Área do Quadrilátero Cíclico
—

"Com apenas quatro comprimentos de lado, Brahmagupta desvendou a área
de toda uma família de polígonos. Isso é matemática clássica."
— Brahmasphutasiddhanta, 628 d.C.