Geometria · Quatro Demonstrações

Teorema de Pitágoras

O teorema mais famoso da matemática — quatro caminhos para a mesma verdade.

✦ Enunciado
a² + b² = c²
Em todo triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
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Demonstração I

Por Rearranjo de Áreas

I
Geometria Visual · Mais Intuitiva · Ensino Médio
Prova por Rearranjo de Áreas
Dois quadrados de lado (a+b) com os mesmos quatro triângulos dispostos de formas diferentes. A área restante em cada caso revela a² + b² = c².
a b a b c² ⟺ b² a² b a
🔷 Prova Passo a Passo
  1. Dois quadrados iguais de lado (a+b) Construa dois quadrados de lado (a+b). Ambos têm área total (a+b)² e serão preenchidos com os mesmos quatro triângulos retângulos de catetos a e b e hipotenusa c.
  2. Quadrado da esquerda — c² no centro Os quatro triângulos dispostos nos cantos deixam no centro um quadrado de lado c:
    (a+b)² = 4·(ab/2) + c² = 2ab + c²
  3. Quadrado da direita — a² e b² expostos Rearranjar os mesmos triângulos nos cantos opostos deixa dois quadrados descobertos:
    (a+b)² = 2ab + a² + b²
  4. Igualar as duas expressões
    2ab + c² = 2ab + a² + b²  ⟹  a² + b² = c²    ∎
📜 Contexto histórico

Esta prova é atribuída ao próprio Pitágoras (570–495 a.C.) e foi redescoberta independentemente na China no Zhou Bi Suan Jing (cerca de 1000 a.C.), onde recebe o nome de Gougu. É a mais visual e intuitiva de todas as demonstrações conhecidas.

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Demonstração II

Algébrica — Pela Expansão

II
Álgebra · Expansão de Quadrados · Mais Direta
Prova Algébrica
Parte do mesmo quadrado de lado (a+b) e expande algebricamente. O cancelamento do termo 2ab dos dois lados revela o teorema de forma limpa.
🔷 Prova Passo a Passo
  1. Área total do quadrado Um quadrado de lado (a+b) tem área:
    (a + b)² = a² + 2ab + b²
  2. Área dos quatro triângulos Cada triângulo retângulo de catetos a e b tem área ab/2. Os quatro juntos totalizam:
    4 · (ab/2) = 2ab
  3. Área restante = quadrado da hipotenusa
    c² = (a+b)² − 2ab
  4. Expandir e simplificar
    c² = a² + 2ab + b² − 2ab
    c² = a² + b²    ∎
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Demonstração III

Por Semelhança de Triângulos

III
Geometria · Semelhança · Elegante
Prova pela Altura sobre a Hipotenusa
A altura traçada do vértice reto sobre a hipotenusa cria três triângulos semelhantes. As proporções entre seus lados geram diretamente o teorema.
A B C H b a c h m n
🔷 Prova Passo a Passo
  1. Traçar a altura sobre a hipotenusa No triângulo retângulo ABC (ângulo reto em C), trace a altura CH sobre a hipotenusa AB = c. Defina AH = m e HB = n, com m + n = c.
  2. Três triângulos semelhantes Os triângulos △ABC, △ACH e △CBH são todos semelhantes — cada um tem ângulo reto e compartilha ângulos agudos com os outros.
  3. Proporção de △ABC ~ △ACH
    b/c = m/b  ⟹  b² = m·c
  4. Proporção de △ABC ~ △CBH
    a/c = n/a  ⟹  a² = n·c
  5. Somar as duas relações
    a² + b² = n·c + m·c = c·(n+m)
    Como m+n = c:    a² + b² = c²    ∎
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Demonstração IV

Pelo Método de Euclides

IV
Geometria Clássica · Elementos · Proposição I.47
Prova de Euclides
A prova original dos Elementos (300 a.C.). Constrói quadrados sobre cada lado e demonstra a igualdade de áreas usando congruência de triângulos.
A B C a² b² c² a b c
🔷 Prova Passo a Passo
  1. Construir os três quadrados externos Sobre cada lado do triângulo retângulo ABC (ângulo reto em A), construa quadrados: b² sobre AC, a² sobre BC e c² sobre AB.
  2. Traçar a linha auxiliar Do vértice A, trace uma reta paralela a AB. Ela divide o quadrado c² em dois retângulos.
  3. Congruência de triângulos (SAS) Por construção, os triângulos formados com o quadrado b² e com o retângulo esquerdo de c² são congruentes (dois lados iguais e ângulo entre eles igual).
  4. Cada triângulo é metade de sua região Por congruência e pelo fato de que triângulo = metade do paralelogramo:
    retângulo esquerdo de c² = b²
    Analogamente, para o lado a:
    retângulo direito de c² = a²
  5. Conclusão Os dois retângulos formam o quadrado c²:
    a² + b² = c²    ∎
    Esta é a Proposição 47 do Livro I dos Elementos de Euclides, escrita por volta de 300 a.C.
📜 Sobre os Elementos de Euclides

Os Elementos de Euclides (≈300 a.C.) é uma das obras mais influentes da história da matemática — um tratado de 13 livros que sistematizou toda a geometria conhecida da época. A Proposição 47 do Livro I é considerada o ponto alto da obra. O texto foi usado como livro-texto de geometria durante mais de dois mil anos.

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Comparação

As Quatro Provas — Lado a Lado

ProvaMétodoPré-requisitoCaracterística
I · RearranjoÁreas geométricasEnsino fundamentalA mais visual e intuitiva
II · AlgébricaExpansão de (a+b)²Álgebra básicaA mais direta e curta
III · SemelhançaTriângulos semelhantesSemelhança de triângulosA mais elegante
IV · EuclidesCongruência + áreasGeometria euclidianaA mais clássica e rigorosa
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Interativo

Calculadora Visual

Ajuste os catetos a e b e veja a hipotenusa c calculada em tempo real com o triângulo redesenhado ao vivo.

⚡ Calculadora — Teorema de Pitágoras
△ Arraste os controles para modificar o triângulo
— aguardando —
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Curiosidade

Ternas Pitagóricas

Uma terna pitagórica é um conjunto de três inteiros positivos (a, b, c) satisfazendo a² + b² = c² — um triângulo retângulo com todos os lados inteiros.

Fórmula de Euclides para gerar ternas

Para quaisquer inteiros m > n > 0:

a = m² − n²    b = 2mn    c = m² + n²
Se mdc(m,n) = 1 e m−n for ímpar, a terna é primitiva.
Terna (a, b, c)VerificaçãoTipo
(3, 4, 5)9 + 16 = 25Primitiva — a mais famosa
(5, 12, 13)25 + 144 = 169Primitiva
(8, 15, 17)64 + 225 = 289Primitiva
(7, 24, 25)49 + 576 = 625Primitiva
(6, 8, 10)36 + 64 = 100Múltipla de (3,4,5)
(20, 21, 29)400 + 441 = 841Primitiva

"A geometria não mente — ela apenas espera que você olhe com atenção."