Geometria · Trigonometria

Lei dos Senos

Em qualquer triângulo, a razão entre cada lado e o seno do ângulo oposto é constante — e igual ao diâmetro do círculo circunscrito.

✦ Enunciado

a/sen(A) = b/sen(B) = c/sen(C)
= 2R

onde R é o raio do círculo circunscrito ao triângulo

Enunciado

O que afirma a Lei dos Senos?

Em qualquer triângulo ABC, com lados a, b, c opostos aos ângulos A, B, C, as três razões abaixo são todas iguais:

Lado a / ângulo A

a / sen(A)

Lado b / ângulo B

b / sen(B)

Lado c / ângulo C

c / sen(C)

✦ Forma completa — com o círculo circunscrito

A razão comum tem um significado geométrico profundo: ela é igual ao diâmetro (2R) do círculo que passa pelos três vértices do triângulo:

a/sen(A) = b/sen(B) = c/sen(C) = 2R
R = raio do círculo circunscrito ao triângulo ABC

🔗 Conexão com a Lei dos Cossenos

Enquanto a Lei dos Cossenos resolve os casos LAL e LLL, a Lei dos Senos resolve os casos ALA e LAA. Juntas, as duas leis resolvem qualquer triângulo.

Demonstração I

Pelo Círculo Circunscrito

Geometria Clássica · Ângulo Inscrito · Mais Elegante

Prova pelo Círculo Circunscrito

Usa o Teorema do Ângulo Inscrito: ângulos inscritos no mesmo arco são iguais e medem metade do ângulo central. Uma prova que revela o porquê geométrico da lei.

🔷 Prova Passo a Passo

Círculo circunscrito Todo triângulo possui um único círculo que passa pelos três vértices — o circunscrito, de centro O e raio R.
Escolher o diâmetro que passa por A Trace o diâmetro AD do círculo passando por A. O comprimento desse diâmetro é 2R.
Ângulo inscrito no semicírculo Como AD é diâmetro, o ângulo ∠ABD = 90° — ângulo inscrito num semicírculo é sempre reto (Teorema de Tales).
Teorema do Ângulo Inscrito Os ângulos inscritos ∠BAC = A e ∠BDC estão subtendidos pelo mesmo arco BC, logo são iguais: ∠BDC = A. No triângulo retângulo ABD:
sen(A) = BC / AD = a / (2R)
Isolar a razão
a / sen(A) = 2R
O mesmo vale para b e c Repetindo o argumento com diâmetros passando por B e C:
b/sen(B) = 2R c/sen(C) = 2R
Logo as três razões são iguais a 2R. ∎

📐 Teorema do Ângulo Inscrito — recordando

O Ângulo Inscrito é formado por dois lados que são cordas de um círculo, com vértice sobre o próprio círculo. Ele sempre mede metade do ângulo central correspondente, e ângulos inscritos no mesmo arco são sempre iguais entre si.

∠inscrito = ½ · ∠central
Ângulos inscritos no mesmo arco são sempre iguais entre si.

Demonstração II

Pela Altura do Triângulo

Geometria Elementar · Sem círculo · Mais acessível

Prova pela Altura

Traça-se a altura do triângulo, expressa de duas formas diferentes — uma em termos de cada ângulo. A igualdade das duas expressões gera a lei diretamente.

🔷 Prova Passo a Passo

Traçar a altura de C Trace a altura h = CH do vértice C perpendicular à base AB.
Expressar h pelo ângulo A No triângulo retângulo AHC, o ângulo em A é o ângulo A e a hipotenusa é b = AC:
h = b · sen(A)
Expressar h pelo ângulo B No triângulo retângulo BHC, o ângulo em B e a hipotenusa é a = BC:
h = a · sen(B)
Igualar as duas expressões de h
b·sen(A) = a·sen(B)
Reorganizar como razões Dividindo ambos os lados por sen(A)·sen(B):
b / sen(B) = a / sen(A)
Repetir para o lado c Traçando a altura de B sobre AC:
c / sen(C) = a / sen(A)
Portanto as três razões são iguais. ∎

Comparação

As Duas Provas — Lado a Lado

Prova	Ferramenta central	Pré-requisito	O que revela
I · Círculo	Ângulo Inscrito + Tales	Geometria do círculo	A razão a/sen(A) é o diâmetro 2R
II · Altura	Seno em triângulo retângulo	Apenas def. de seno	As razões são iguais por serem a mesma altura

💡 Qual prova é mais profunda?

A prova pela altura é mais elementar e mostra que as razões são iguais — mas não diz quanto valem. A prova pelo círculo é mais rica: ela revela que a razão comum vale exatamente 2R, conectando o triângulo ao seu círculo circunscrito.

Forma Inversa

Calculando Ângulos e Lados

A Lei dos Senos pode ser usada em dois sentidos:

→ Encontrar um lado (caso ALA)

Dados dois ângulos e um lado, encontrar outro lado:

a = b · sen(A) / sen(B)
dados: b, A, B → calcular a

→ Encontrar um ângulo (caso LAA)

Dados dois lados e um ângulo oposto a um deles:

sen(B) = a · sen(A) / b
atenção: pode haver duas soluções (caso ambíguo)

⚠ O Caso Ambíguo (LAL oposto)

Quando dados dois lados a, b e o ângulo A oposto ao menor, podem existir zero, um ou dois triângulos válidos — porque sen(B) = x tem duas soluções: B e 180° − B. Sempre verifique se a soma dos ângulos não ultrapassa 180°.

Exemplos

Exemplos Resolvidos

🌿 Exemplo 1 — Caso ALA: encontrar lado

Dados: A = 40°, B = 70°, b = 10. Encontrar a.

a/sen(40°) = b/sen(70°) = 10/sen(70°)
a = 10 · sen(40°)/sen(70°) = 10 · 0,6428/0,9397
a ≈ 6,84

C = 180° − 40° − 70° = 70°. Como B = C = 70°, o triângulo é isósceles com b = c = 10.

🌿 Exemplo 2 — Encontrar ângulo

Dados: a = 7, b = 10, A = 35°. Encontrar B.

sen(B) = 10 · sen(35°)/7 = 10 · 0,5736/7 ≈ 0,8194
B = arcsen(0,8194) ≈ 55,1°
(verificar: 35 + 55,1 = 90,1° < 180° ✓)

🌿 Exemplo 3 — Calcular o raio R

Triângulo com a = 8 e A = 30°. Qual o raio do círculo circunscrito?

2R = a/sen(A) = 8/sen(30°) = 8/(1/2) = 16
R = 8
Para A = 30°, o lado oposto sempre mede exatamente R.

Interativo

Triângulo e Círculo Dinâmicos

Ajuste os lados a, b e o ângulo A. A calculadora usa a Lei dos Senos para encontrar os ângulos restantes e desenha o círculo circunscrito em tempo real.

⚡ Calculadora Visual — Lei dos Senos

△ Círculo circunscrito desenhado em tempo real

Lado a6.0

Lado b9.0

Ângulo A45°

— aguardando —

Síntese

O que as provas nos ensinam

✦ Linha de raciocínio — Prova I (Círculo)

Diâmetro: traçar o diâmetro AD pelo vértice A, comprimento 2R.
Tales: ângulo inscrito no semicírculo é reto → ∠ABD = 90°.
Ângulo inscrito: ∠BDA = ∠BCA = A (mesmo arco BC).
Seno: sen(A) = a/(2R) → a/sen(A) = 2R. Idem para b e c. ∎

✦ Linha de raciocínio — Prova II (Altura)

Altura: traçar h = CH perpendicular à base AB.
Duas expressões: h = b·sen(A) e h = a·sen(B).
Igualar: b·sen(A) = a·sen(B) → a/sen(A) = b/sen(B). ∎

"O círculo não é apenas o contorno do triângulo —
é a chave que revela a constante oculta em cada razão."