Física Quântica · Mecânica Ondulatória · Demonstração Completa

Equação de Schrödinger

A equação que governa o comportamento quântico da matéria — deduzida a partir da conservação de energia e da dualidade onda-partícula.

✦ Equação Dependente do Tempo

iħ · ∂Ψ∂t = −ħ²2m · ∂²Ψ∂x² + V · Ψ (1D)

Forma Compacta

iħ · ∂Ψ∂t = Ĥ · Ψ

Ψ é a função de onda da partícula. |Ψ|² dá a densidade de probabilidade de encontrá-la. ħ = h/(2π) é a constante de Planck reduzida. Ĥ é o operador hamiltoniano (energia total).

Contexto Histórico

A Crise da Física Clássica

No início do século XX, a física estava em crise. Experimentos como o efeito fotoelétrico, o espectro discreto do hidrogênio e a difração de elétrons mostravam que partículas subatômicas simplesmente não obedeciam as leis de Newton.

Em 1926, Erwin Schrödinger (1887–1961) propôs a equação de onda quântica que leva seu nome. Ele ganhou o Nobel de Física em 1933 por esta descoberta.

⚛ O que a equação faz

Ela descreve como a função de onda Ψ de uma partícula evolui no tempo. Ψ não é a posição da partícula — é uma amplitude de probabilidade. Ao quadrado, |Ψ|², fornece a probabilidade de encontrar a partícula em cada ponto do espaço.

⚛ Física Atômica

Níveis de energia do hidrogênio e espectros atômicos.

🧪 Química

Ligações moleculares, orbitais e reatividade química.

💻 Semicondutores

Transistores, chips e toda a eletrônica moderna.

💡 Lasers e LEDs

Emissão estimulada e transições entre níveis quânticos.

Ponto de Partida

Dualidade Onda-Partícula

Em 1924, Louis de Broglie propôs que toda partícula com momento p tem uma onda associada. O comprimento de onda é:

λ = hp

onde h ≈ 6,626 × 10⁻³⁴ J·s é a Constante de Planck. Esta ideia — confirmada experimentalmente — é o fundamento filosófico da equação de Schrödinger.

💡 Raciocínio de Schrödinger

Se elétrons se comportam como ondas, deve existir uma equação de onda que os governe — assim como a equação de onda clássica governa o som e a luz. Schrödinger foi atrás dessa equação.

Requisito	Motivação
Equação diferencial de onda	Elétrons exibem interferência e difração
1ª ordem no tempo	O estado inicial Ψ(x,0) determina tudo
Respeite E = p²/2m + V	Conservação de energia (caso não-relativístico)
Admita superposição	Princípio da superposição quântica

Passo 1

A Onda Plana — ponto de partida

Para uma partícula livre (V = 0) com momento p e energia E bem definidos, a função de onda é uma onda plana:

Ψ(x, t) = A · e^{i(kx − ωt)}

Símbolo	Nome	Relação física
k	Número de onda	k = 2π/λ = p/ħ
ω	Frequência angular	ω = 2πf = E/ħ
ħ	h-barra	ħ = h2π ≈ 1,055 × 10⁻³⁴ J·s

🔗 Conexão com Euler e Fourier

Usando a Fórmula de Euler: Ψ = A·[cos(kx−ωt) + i·sin(kx−ωt)]. É uma onda complexa girando no plano imaginário — exatamente o núcleo da Transformada de Fourier que já estudamos!

Passo 2

Derivando Ψ — extraindo energia e momento

O passo central: derivar a onda plana em relação ao tempo e ao espaço, e identificar o que aparece.

Derivada temporal — extrai a energia E

∂Ψ∂t = −iω · Ψ ⟹ iħ · ∂Ψ∂t = iħ·(−iω)·Ψ = ħω·Ψ = E·Ψ

Usamos E = ħω (relação de Planck-Einstein). Portanto iħ ∂/∂t é o operador energia.

Derivada espacial 2ª ordem — extrai a energia cinética p²/2m

∂²Ψ∂x² = (ik)²·Ψ = −k²·Ψ ⟹ −ħ²2m · ∂²Ψ∂x² = ħ²k²2m · Ψ = Ec·Ψ

Usamos p = ħk (de Broglie). Portanto −ħ²/2m · ∂²/∂x² é o operador de energia cinética.

Passo 3 — Resultado Principal

Conservação de Energia → Equação de Schrödinger

A mecânica clássica diz que a energia total é cinética + potencial:

E = p²2m + V(x,t)

Substituindo cada grandeza pelo seu operador quântico e aplicando à função de onda Ψ:

Grandeza clássica	Operador quântico	Atuando em Ψ
Energia total E	iħ · ∂/∂t	iħ · ∂Ψ/∂t
Energia cinética p²/2m	−ħ²/2m · ∂²/∂x²	−ħ²/2m · ∂²Ψ/∂x²
Energia potencial V	V(x,t) ×	V(x,t) · Ψ

A equação E = Ec + V, aplicada à função de onda, torna-se:

iħ · ∂Ψ∂t = −ħ²2m · ∂²Ψ∂x² + V · Ψ ∎

🎯 O que acabamos de fazer

Pegamos a conservação de energia clássica (E = Ec + V), substituímos cada grandeza pelo seu operador diferencial quântico, e aplicamos à função de onda Ψ. As consequências dessa equação descrevem toda a química e a física atômica.

Generalização

Forma 3D e o Operador Hamiltoniano Ĥ

No espaço tridimensional, a derivada espacial de segunda ordem vira o operador Laplaciano ∇²:

∇² = ∂²∂x² + ∂²∂y² + ∂²∂z²

A equação completa em 3D é:

iħ · ∂Ψ∂t = −ħ²2m · ∇²Ψ + V·Ψ

Definindo o Operador Hamiltoniano Ĥ (energia total do sistema):

Ĥ = −ħ²2m · ∇² + V

A equação de Schrödinger escreve-se de forma compacta e elegante:

iħ · ∂Ψ∂t = Ĥ · Ψ

📐 Analogia com F = ma

iħ·∂Ψ/∂t = ĤΨ é o equivalente quântico da 2ª Lei de Newton. Ambas são equações diferenciais que descrevem como o estado do sistema evolui no tempo. A diferença é que o "estado" aqui é uma função de onda complexa — não uma posição e velocidade clássicas.

Interpretação Física

O que é Ψ? — Interpretação de Born

Schrödinger desenvolveu a equação, mas a interpretação física de Ψ foi proposta por Max Born em 1926:

|Ψ(x,t)|² = densidade de probabilidade de encontrar a partícula em x no instante t

Ψ em si é um número complexo sem significado físico direto. Mas |Ψ|² é real, não-negativo e representa uma densidade de probabilidade. A condição de normalização exige:

∫_−∞^+∞ |Ψ(x,t)|² dx = 1

🐱 O Gato de Schrödinger

A natureza probabilística da função de onda levou ao famoso paradoxo: antes de uma medição, a partícula existe em uma superposição de estados — como um gato simultaneamente vivo e morto. Ao medir, a função de onda "colapsa" para um estado definido.

Schrödinger criou esse experimento mental para criticar (ironicamente) a interpretação probabilística — mas o paradoxo revelou a estranheza real da mecânica quântica.

Largura σ = 50 Frequência k₀ = 8

Caso Especial

Equação Independente do Tempo

Quando o potencial V não depende do tempo (átomo de hidrogênio, poço de potencial, oscilador harmônico), usamos a separação de variáveis:

Ψ(x, t) = ψ(x) · φ(t)

Substituindo na equação e dividindo por ψ·φ, cada lado depende de variáveis diferentes e deve ser igual a uma constante — a energia E. A parte temporal dá:

φ(t) = e^−iEt/ħ

E a parte espacial é a Equação de Schrödinger Independente do Tempo:

−ħ²2m · d²ψdx² + V · ψ = E · ψ ou equivalente: Ĥψ = Eψ

⚡ Por que isso é poderoso

Esta é uma equação de autovalores: queremos as funções ψ(x) (autoestados) e as energias E (autovalores) que a satisfazem. Para o átomo de hidrogênio, as soluções são os orbitais s, p, d, f… e as energias são os níveis Eₙ = −13,6/n² eV — explicando diretamente os espectros atômicos.

Exemplo Resolvido

Partícula na Caixa (Poço Infinito)

O problema mais simples e didático: partícula confinada entre 0 e L com V = 0 dentro e V = ∞ fora. As condições de contorno ψ(0) = ψ(L) = 0 impõem kL = nπ. A solução é:

ψₙ(x) = √2L · sin(nπxL) n = 1, 2, 3, …

Os níveis de energia quantizados:

Eₙ = n²π²ħ²2mL² = n² · E₁

🔢 Quantização como consequência, não hipótese!

A energia só pode assumir valores discretos (E₁, 4E₁, 9E₁, …). Isso não foi imposto — emergiu naturalmente das condições de contorno! Esta é a razão pela qual os átomos têm espectros discretos: a quantização é uma consequência matemática da equação de onda confinada.

Nível quântico n = n = 1

Consequência Profunda

Princípio da Incerteza de Heisenberg

Uma das consequências mais profundas da equação de Schrödinger, derivada por Heisenberg em 1927:

Δx · Δp ≥ ħ2

É impossível — mesmo com instrumentos perfeitos — conhecer simultaneamente a posição e o momento com precisão arbitrária.

🌊 Conexão com Fourier!

A função de onda Ψ(x) e sua Transformada de Fourier Ψ̂(p) são um par de Fourier (estudamos isso!). A dualidade de Fourier implica: sinal estreito no espaço → largo no espaço de momento. Quanto mais bem localizada a partícula (Δx pequeno), mais espalhado seu momento (Δp grande).

A incerteza quântica é, matematicamente, a mesma dualidade tempo-frequência da Transformada de Fourier.

Situação	Δx	Δp
Partícula muito localizada	Pequeno	Muito grande
Onda plana (partícula livre)	Infinito	Zero
Pacote Gaussiano	σ	ħ/(2σ)

Existe também o princípio de incerteza energia-tempo:

ΔE · Δt ≥ ħ2

Isso explica partículas virtuais que "surgem do nada" por um tempo brevíssimo, o efeito Casimir e a energia do ponto zero.

Interativo

Propagação de um Pacote de Onda

A solução completa da equação dependente do tempo é Ψ(x,t) = ψ(x)·e^−iEt/ħ. Para um pacote gaussiano (superposição de ondas planas), a densidade de probabilidade |Ψ|² se propaga e dispersa com o tempo.

Velocidade: 2× Dispersão: 2

📡 Velocidade de grupo vs. velocidade de fase

O pico do pacote (densidade de probabilidade) se move com a velocidade de grupo vg = dω/dk — que é a velocidade "clássica" da partícula. A velocidade de fase vφ = ω/k é diferente e não carrega informação física.

Bônus — Equação de Dirac (1928)

A equação de Schrödinger é não-relativística. Em 1928, Paul Dirac criou a versão quântica e relativística:

(iγ^μ∂_μ − mcħ) · ψ = 0

Suas duas soluções de energia (± √(p²c²+m²c⁴)) previram matematicamente a existência da antimatéria — o pósitron foi descoberto experimentalmente em 1932, confirmando a previsão.

Equação	Regime	Spin
Schrödinger	Não-relativístico	Não inclui naturalmente
Klein-Gordon	Relativístico	Spin 0 (bósons)
Dirac	Relativístico	Spin ½ — elétrons, pósitrons

"A equação de Schrödinger fez pela física atômica
o que as leis de Newton fizeram pela mecânica clássica —
e suas consequências ainda não foram totalmente exploradas."