Cálculo Integral · Coordenadas Polares · Demonstração

Integral de Gauss

A integral que não tem primitiva elementar — mas revela seu segredo quando elevada ao quadrado.

✦ O Resultado
∫−∞+∞  e−x² dx  =  √π  ≈ 1,7725…
A antiderivada de e−x² não existe em forma fechada — mas a integral definida de −∞ a +∞ tem valor exato √π. A prova usa um truque elegante: elevar ao quadrado e mudar para coordenadas polares.
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O Problema

Por que esta integral é difícil?

A função f(x) = e−x² é perfeitamente contínua, suave e bem comportada. Mas quando tentamos calcular sua integral pelo método usual — encontrar uma antiderivada — chegamos a um impasse fundamental.

⚠ A antiderivada não existe em forma fechada

Não existe nenhuma combinação de funções elementares — polinômios, exponenciais, logaritmos, senos, cossenos — cuja derivada seja e−x². Isso foi provado rigorosamente por Liouville em 1835.

∄ F(x) elementar tal que F'(x) = e−x²

A integral indefinida ∫ e−x² dx só pode ser expressa como uma função especial — a função erro erf(x). Mas a integral definida de −∞ a +∞ tem valor exato!

💡 A ideia genial — elevar ao quadrado

Em vez de calcular I = ∫ e−x² dx diretamente, vamos calcular I². Para isso, escrevemos o produto de duas cópias da mesma integral usando variáveis diferentes:

I² = (∫ e−x² dx) · (∫ e−y² dy) = ∬ e−(x²+y²) dx dy

Isso transforma o problema numa integral dupla sobre o plano ℝ². E aí o truque das coordenadas polares resolve tudo — porque o expoente x² + y² = r² tem simetria circular perfeita.

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Demonstração Completa

O Truque das Coordenadas Polares

🎯 Estratégia em três atos
Elevar ao quadrado   →   Mudar para coordenadas polares   →   Extrair a raiz
🔷 Prova Passo a Passo
  1. Escrever I² como integral dupla Seja I = ∫−∞+∞ e−x² dx. Como I > 0, temos I = √(I²). Escrevemos I² como produto de duas integrais com variáveis independentes x e y:
    I² = (∫−∞+∞ e−x² dx) · (∫−∞+∞ e−y² dy)
    = ∫−∞+∞ ∫−∞+∞ e−x² · e−y² dx dy
    = ∬ℝ² e−(x²+y²) dx dy
    Usamos: e−x² · e−y² = e−(x²+y²)
  2. Reconhecer a simetria: x² + y² = r² O expoente x² + y² é exatamente r² em coordenadas polares — o quadrado da distância à origem. O integrando tem simetria circular perfeita: depende apenas da distância r, não da direção θ.
    x = r·cos θ,    y = r·sen θ
    x² + y² = r²
    r ∈ [0, +∞),    θ ∈ [0, 2π)
  3. O Jacobiano da mudança para coordenadas polares Ao mudar de coordenadas cartesianas para polares, o elemento de área transforma:
    dx dy = r dr dθ
    O fator r é o Jacobiano da transformação polar — determinante da matriz de derivadas parciais da mudança de variável. Ele é crucial: tornará a integral em r solúvel por substituição simples.
  4. Substituir na integral dupla
    I² = ∫02π ∫0+∞ e−r² · r dr dθ
  5. Separar as integrais — variáveis independentes O integrando e−r² · r não depende de θ. Como as variáveis r e θ são independentes, as integrais se separam:
    = (∫02π dθ) · (∫0+∞ r · e−r² dr)
    = 2π · (∫0+∞ r · e−r² dr)
  6. Calcular ∫0+∞ r · e−r² dr — substituição u = r² Esta integral agora é elementar! Fazemos u = r², portanto du = 2r dr, logo r dr = du/2:
    ∫0+∞ r · e−r² dr = ∫0+∞ e−u · du2 = 12 · [−e−u]0+∞
    = 12 · (0 − (−1)) = 12
    pois e−u → 0 quando u → +∞.
  7. Juntar tudo
    I² = 2π · 12 = π
  8. Extrair a raiz — resultado final ∎ Como I > 0:
    ∫−∞+∞ e−x² dx = √π    ∎
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Intuição

Por que π aparece — sem nenhum círculo?

Esta é a pergunta que todo estudante faz. A resposta está na própria prova:

🔍 O π vem do ângulo, não do raio

Quando passamos para coordenadas polares, a integral em θ percorre o ângulo completo: de 0 a 2π. É essa integral que produz o fator 2π. O círculo estava implícito na simetria rotacional do integrando desde o início!

e−(x²+y²) = e−r²
a função depende apenas de r — tem simetria circular perfeita
∫02π dθ = 2π

A curva gaussiana, quando rotacionada em torno do eixo vertical, varre uma superfície com simetria circular. O π é a "quantidade de ângulo" dessa simetria — estava escondido na geometria desde o início.

🔗 Conexão com a distribuição normal

A função e−x² é a "curva gaussiana bruta". Para que ela seja uma distribuição de probabilidade (área total = 1), é preciso normalizá-la dividindo por √π. É por isso que a distribuição normal padrão tem o fator 1√(2π):

φ(x) = 1√(2π) · e−x²/2
∫−∞+∞ φ(x) dx = 1  ✓
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Variantes

Generalizações da Integral de Gauss

Com a mesma técnica — ou por simples substituição de variável — obtemos uma família de integrais relacionadas:

∫ e−ax² dx — com constante a > 0

Fazendo a substituição u = √a · x, du = √a dx:

∫−∞+∞ e−ax² dx = √π√a = √πa
caso a = 1 recupera √π
∫ x² · e−x² dx — diferenciação sob o sinal de integral

Derivando a fórmula anterior em relação a a e avaliando em a = 1:

∫−∞+∞ x² e−x² dx = √π2
∫ e−x²/2 dx — forma da distribuição normal
∫−∞+∞ e−x²/2 dx = √(2π)
é o denominador da distribuição normal padrão
∫0+∞ e−x² dx — metade da integral

Como o integrando é uma função par (simétrica em relação a x = 0):

∫0+∞ e−x² dx = √π2
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Aplicações

Onde esta integral aparece?

📊 Distribuição Normal
Toda a teoria de probabilidade gaussiana repousa nesta integral. Sem ela, não há curva normal normalizada.
φ(x) = e−x²/2/√(2π)
⚛ Mecânica Quântica
O estado fundamental do oscilador harmônico quântico é uma gaussiana. A integral aparece ao normalizar a função de onda.
ψ₀(x) ∝ e−mωx²/2ℏ
🌡 Física Estatística
A distribuição de Maxwell-Boltzmann das velocidades moleculares usa integrais gaussianas para calcular médias e desvios.
f(v) ∝ v²·e−mv²/2kT
📡 Função Erro erf(x)
A integral definida de 0 a x define a função erro erf(x), usada em probabilidade, equações de calor e teoria do sinal.
erf(x) = 2√π ∫₀ˣ e−t²dt
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Interativo

Aproximação Numérica da Integral

Ajuste os limites de integração e veja a área sob a curva e−x² convergindo para √π ≈ 1,7725 à medida que os limites crescem.

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✦ Resumo da demonstração
  1. Elevar ao quadrado: I² = ∬ e−(x²+y²) dx dy
  2. Simetria circular: x²+y²=r² sugere coordenadas polares
  3. Jacobiano: dx dy = r dr dθ — o fator r é a chave
  4. Separar: ∫₀²π dθ · ∫₀∞ r·e−r² dr = 2π · 12 = π
  5. Substituição u=r²: ∫₀∞ r·e−r² dr = 12
  6. Resultado: I² = π  →  I = √π  ∎

"A integral que não tem primitiva
revela seu segredo ao ser elevada ao quadrado —
e o segredo é um círculo."