Trigonometria · Geometria · Demonstração

Fórmulas de Adição Trigonométrica

sin(α±β) e cos(α±β) — derivadas geometricamente e via Fórmula de Euler em apenas 3 linhas.

✦ As Fórmulas Fundamentais
sin(α ± β) = sin α · cos β ± cos α · sin β
cos(α ± β) = cos α · cos β ∓ sin α · sin β
tan(α ± β) = tan α ± tan β1 ∓ tan α · tan β
Estas identidades permitem calcular sin(75°), cos(15°) e muitas outras sem calculadora, e são a base de toda a análise trigonométrica.
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Demonstração Geométrica

Prova do sin(α+β) por área

A prova mais visual usa um retângulo dividido por uma diagonal em ângulo α+β. Construímos o retângulo com altura 1, e decompomos a diagonal para extrair as áreas.

🔷 Prova via rotação de vetores
  1. Dois vetores unitários Considere o vetor u = (cos α, sin α) e uma rotação de β no plano. O vetor rotacionado de u por β tem coordenadas:
    u' = (cos α · cos β − sin α · sin β,   sin α · cos β + cos α · sin β)
  2. Reconhecer o ângulo α+β Mas u' é também o vetor unitário na direção α+β, portanto:
    u' = (cos(α+β),   sin(α+β))
  3. Igualar componentes — resultado ∎
    cos(α+β) = cos α · cos β − sin α · sin β
    sin(α+β) = sin α · cos β + cos α · sin β
  4. Subtração — trocar sinal de β Substituindo β por −β e usando sin(−β) = −sin β, cos(−β) = cos β:
    cos(α−β) = cos α · cos β + sin α · sin β
    sin(α−β) = sin α · cos β − cos α · sin β
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Prova Elegante

Derivação via Fórmula de Euler

A prova mais curta usa a Fórmula de Euler (que já estudamos!) e a propriedade das exponenciais.

🔷 Em 3 linhas
ei(α+β) = eiα · eiβ
cos(α+β) + i·sin(α+β) = (cos α + i·sin α)(cos β + i·sin β)
= (cos α·cos β − sin α·sin β) + i(sin α·cos β + cos α·sin β)

Igualando partes real e imaginária:

cos(α+β) = cos α cos β − sin α sin β
sin(α+β) = sin α cos β + cos α sin β    ∎

Esta é a demonstração mais compacta e revela a conexão profunda entre trigonometria e exponencial complexa.

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Consequências

Identidades Derivadas

Ângulo duplo (β = α)
sin(2α) = 2·sin α · cos α
cos(2α) = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1
Ângulo metade
sin²(α2) = 1 − cos α2      cos²(α2) = 1 + cos α2
Produto → Soma (muito útil em física e Fourier!)
sin α · cos β = sin(α+β) + sin(α−β)2
cos α · cos β = cos(α−β) + cos(α+β)2
Exemplos — valores exatos
sin 75° = sin(45°+30°) = √6 + √24
cos 15° = cos(45°−30°) = √6 + √24
tan 75° = 2 + √3
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Interativo

Calculadora de Adição de Ângulos

Digite dois ângulos em graus e veja sin(α±β) e cos(α±β) calculados pelas fórmulas de adição.

Configure e clique em Calcular.

"As fórmulas de adição são a porta de entrada
para toda a trigonometria avançada —
e, como vimos, emergem naturalmente da Fórmula de Euler."