Álgebra · Polinômios · Raízes
Relações de Girard
As raízes de um polinômio e seus coeficientes estão ligados por relações elegantes — sem precisar resolver a equação.
r₁r₂ + r₁r₃ + ··· = +a₂
r₁r₂r₃ + ··· = −a₃
r₁·r₂·····rₙ = (−1)ⁿ·aₙ
Sem resolver a equação
Resolver uma equação de grau 5 ou superior é geralmente impossível em forma fechada (Teorema de Abel-Ruffini). Mas as Relações de Girard permitem saber a soma, soma de produtos 2 a 2 e o produto de todas as raízes apenas olhando os coeficientes — sem resolver a equação.
Para p(x) = x² − 5x + 6, sem resolver: r₁ + r₂ = 5 e r₁·r₂ = 6. As raízes são 2 e 3 — e de fato 2 + 3 = 5 e 2 × 3 = 6 ✓
Derivação por Expansão do Produto
Se p(x) tem raízes r₁, r₂, …, rₙ, pelo Teorema Fundamental da Álgebra (que já estudamos!):
- Expandir o produto(x − r₁)(x − r₂) = x² − (r₁+r₂)x + r₁r₂
- Comparar com x² + a₁x + a₂ Identificando coeficiente a coeficiente:a₁ = −(r₁ + r₂) ⟹ r₁ + r₂ = −a₁
a₂ = r₁·r₂ ⟹ r₁·r₂ = a₂
Comparando com x³ + a₁x² + a₂x + a₃:
Para p(x) = xⁿ + a₁xⁿ⁻¹ + ··· + aₙ, definindo eₖ como a soma de todos os produtos k a k das raízes:
e₃ = Σᵢ＜ⱼ＜ₖ rᵢrⱼrₖ = −a₃ eₙ = r₁r₂···rₙ = (−1)ⁿaₙ
Em geral: eₖ = (−1)ᵏ·aₖ. O sinal alterna — observe a relação com o Binômio de Newton!
Aplicações Diretas
Sem resolver: a₁ = −6, a₂ = 11, a₃ = −6. Pelas relações:
As raízes são 1, 2, 3. Verificação: 1+2+3 = 6 ✓ · 1·2+1·3+2·3 = 11 ✓ · 1·2·3 = 6 ✓
Sabe-se que x³ + px² + 3x − 4 tem raízes r₁, r₂, r₃ com r₁r₂r₃ = 4. Pela relação: r₁r₂r₃ = −(−4) = 4 ✓ (consistente). Se também r₁+r₂+r₃ = 2, então −p = 2, logo p = −2.
Usando a identidade algébrica (r₁+r₂+r₃)² = r₁²+r₂²+r₃² + 2(r₁r₂+r₁r₃+r₂r₃):
Calculadora de Relações de Girard
Insira os coeficientes de um polinômio de grau 2 ou 3 e veja as relações entre raízes.
Grau 2: x² + a₁x + a₂ ou Grau 3: x³ + a₁x² + a₂x + a₃
Por que as Relações de Girard importam
Qualquer expressão simétrica nas raízes (que não muda ao permutar as raízes) pode ser escrita em função dos coeficientes. Isso é o Teorema das Funções Simétricas Elementares — base de toda a teoria de Galois.
Os produtos elementares eₖ das raízes são exatamente os coeficientes que aparecem na expansão do produto (x−r₁)(x−r₂)···(x−rₙ) — a mesma estrutura do Binômio de Newton com sinais alternados.
As Relações de Girard são o ponto de partida da Teoria de Galois — que estuda a estrutura de simetria das raízes de polinômios e responde à pergunta: para quais graus existe fórmula geral? (Resposta: apenas 1, 2, 3 e 4.)