Álgebra · Números Complexos · Demonstração

Fórmula de De Moivre

(cos θ + i·sin θ)ⁿ = cos(nθ) + i·sin(nθ) — a fórmula que une potenciação e trigonometria no plano complexo.

✦ Fórmula de De Moivre

(cos θ + i·sin θ)ⁿ = cos(nθ) + i·sin(nθ)

Raízes n-ésimas de um número complexo

zₖ = r^(1/n) · (cos θ+2πkn + i·sin θ+2πkn) k = 0,1,…,n−1

r = |z| é o módulo e θ = arg(z) é o argumento. As n raízes formam um polígono regular no plano complexo.

Pré-requisito

Forma Polar dos Complexos

Todo número complexo z = a + bi pode ser escrito em forma polar:

z = r·(cos θ + i·sin θ) = r·e^iθ

Símbolo	Nome	Fórmula
r = \|z\|	Módulo	r = √(a²+b²)
θ = arg(z)	Argumento	θ = arctan(b/a)

Multiplicação em forma polar

Dois complexos em forma polar multiplicam-se multiplicando módulos e somando argumentos:

r₁e^iθ₁ · r₂e^iθ₂ = r₁r₂ · e^{i(θ₁+θ₂)}

Esta regra é a chave para entender De Moivre: elevar ao quadrado dobra o argumento, elevar ao cubo o triplica, e assim por diante.

Demonstração

Prova por Indução e por Euler

🔷 Prova direta via Fórmula de Euler (mais elegante)

(cos θ + i·sin θ)ⁿ = (e^iθ)ⁿ = e^inθ = cos(nθ) + i·sin(nθ) ∎

Em uma linha! A Fórmula de Euler torna a prova trivial. É mais uma demonstração do poder desta fórmula.

🔷 Prova por Indução (sem usar Euler)

Base n=1: (cos θ + i sin θ)¹ = cos θ + i sin θ = cos(1·θ) + i sin(1·θ) ✓
Passo indutivo: supondo verdadeiro para n, para n+1:
(cos θ+i sin θ)ⁿ⁺¹ = (cos nθ+i sin nθ)(cos θ+i sin θ)
= cos nθ·cos θ − sin nθ·sin θ + i(sin nθ·cos θ + cos nθ·sin θ)
= cos(nθ+θ) + i·sin(nθ+θ) = cos((n+1)θ) + i sin((n+1)θ) ∎

Raízes n-ésimas

As n raízes de um número complexo

Para encontrar as n raízes n-ésimas de z = r·e^iθ, procuramos w tal que wⁿ = z. Escrevendo w = ρ·e^iφ:

ρⁿ·e^inφ = r·e^iθ ⟹ ρ = r^(1/n) e nφ = θ + 2πk

Para cada k = 0, 1, 2, …, n−1 obtemos uma raiz distinta:

zₖ = r^(1/n) · cosθ+2πkn + i·r^(1/n) · sinθ+2πkn

Exemplo — raízes cúbicas da unidade (z³ = 1)

r = 1, θ = 0. As 3 raízes:

z₀ = cos 0 + i sin 0 = 1
z₁ = cos(2π/3) + i sin(2π/3) = −½ + i√3/2
z₂ = cos(4π/3) + i sin(4π/3) = −½ − i√3/2

As 3 raízes formam um triângulo equilátero inscrito no círculo unitário — espaçadas de 120° = 2π/3.

Interativo

Raízes no Plano Complexo

As n raízes n-ésimas de qualquer número formam sempre um polígono regular no plano complexo. Ajuste n para ver o polígono mudar.

n = 3 arg(z) = 0°

Aplicações

Por que De Moivre importa

⚡ Identidades trigonométricas múltiplas

Expandindo (cos θ + i sin θ)ⁿ pelo Binômio de Newton e igualando partes real e imaginária, obtemos fórmulas para cos(nθ) e sin(nθ) em termos de potências de cos θ e sin θ. Por exemplo para n=3:

cos(3θ) = 4cos³θ − 3cos θ sin(3θ) = 3sin θ − 4sin³θ

⚡ Resolução de equações algébricas

As raízes n-ésimas da unidade são soluções de xⁿ − 1 = 0. Elas dividem-se em fatores lineares complexos sobre ℂ — base da teoria das extensões ciclotômicas, fundamental em teoria de Galois e criptografia.

⚡ Transformada de Fourier Discreta

As raízes n-ésimas da unidade são exatamente os nós da DFT (Transformada Discreta de Fourier que estudamos!). A FFT é basicamente a multiplicação recursiva por raízes da unidade — De Moivre está no coração de todo processamento digital de sinais.