Cálculo · Limites · Demonstração

Regra de L'Hôpital

A ferramenta que resolve as formas indeterminadas 0/0 e ∞/∞ — derivada do Teorema do Valor Médio de Cauchy.

✦ Regra de L'Hôpital
Se lim f(x) = lim g(x) = 0  ou  ±∞,  então:

lim f(x)g(x) = lim f'(x)g'(x)
Válida quando g'(x) ≠ 0 perto de a e o limite do quociente das derivadas existe. Aplica-se às formas indeterminadas 0/0 e ∞/∞.
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Contexto

O problema das formas indeterminadas

Quando calculamos lim f(x)/g(x) e ambas f e g tendem a zero (ou a ±∞), não podemos simplesmente substituir — obtemos a forma indeterminada 0/0 (ou ∞/∞), que pode resultar em qualquer valor.

Exemplos clássicos de 0/0
limx→0 sin xx = ?     limx→0 1 − cos xx² = ?     limx→1 x² − 1x − 1 = ?
🏛 Guillaume de L'Hôpital (1661–1704)

A regra foi publicada em 1696 no primeiro livro de cálculo diferencial da história (Analyse des Infiniment Petits). Na verdade, o resultado foi desenvolvido por Johann Bernoulli, que o ensinou a L'Hôpital mediante contrato — uma das histórias mais curiosas da história da matemática.

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Demonstração

Prova via Teorema de Cauchy

A prova usa o Teorema do Valor Médio de Cauchy: se f e g são contínuas em [a,b] e diferenciáveis em (a,b) com g'(x) ≠ 0, então existe c ∈ (a,b) tal que:

f(b)−f(a)g(b)−g(a) = f'(c)g'(c)
🔷 Prova para a forma 0/0
  1. Hipótese — f(a) = g(a) = 0 e ambas diferenciáveis em x = a.
  2. Aplicar Cauchy no intervalo [a, x] Para x próximo de a, existe c entre a e x tal que:
    f(x)g(x) = f(x)−f(a)g(x)−g(a) = f'(c)g'(c)
  3. Tomar o limite x → a Quando x → a, forçosamente c → a (pois c está espremido entre a e x):
    limx→a f(x)g(x) = limc→a f'(c)g'(c) = limx→a f'(x)g'(x)    ∎
⚠ Condições necessárias

1. O limite deve ser da forma 0/0 ou ∞/∞ — não se aplica a outras formas indeterminadas diretamente.

2. g'(x) ≠ 0 em uma vizinhança de a (exceto possivelmente em a).

3. O limite de f'(x)/g'(x) deve existir — se não existir, a regra não nos diz nada sobre f/g.

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Exemplos

Aplicações Resolvidas

Exemplo 1 — lim sin(x)/x quando x→0
Forma 0/0. Aplicando L'Hôpital:
limx→0 sin xx = limx→0 cos x1 = 1
Exemplo 2 — lim (1−cos x)/x² quando x→0
Forma 0/0. Aplicar L'Hôpital uma vez:
lim 1−cos xx² = lim sin x2x   (ainda 0/0)   = lim cos x2 = 12
Exemplo 3 — lim x·ln(x) quando x→0⁺

Forma 0·(−∞). Reescrever como ln x1/x → ∞/∞:

limx→0⁺ ln x1/x = lim 1/x−1/x² = lim (−x) = 0
Exemplo 4 — lim (eˣ − 1 − x)/x² quando x→0
0/0 → L'Hôpital: eˣ − 12x → 0/0 → L'Hôpital: eˣ2 = 12
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Outras Formas

Convertendo formas indeterminadas

FormaEstratégia de conversãoExemplo
0/0Aplicar L'Hôpital diretamentesin(x)/x
∞/∞Aplicar L'Hôpital diretamentexⁿ/eˣ
0·∞Reescrever: f·g = f/(1/g) ou g/(1/f)x·ln x
∞−∞Fatorar, usar denominador comum1/sin(x) − 1/x
1^∞, 0⁰, ∞⁰Usar ln: lim f^g = e^(lim g·ln f)lim (1+1/n)ⁿ = e
Exemplo — forma 1^∞: lim (1 + x)^(1/x) quando x→0
y = (1+x)^(1/x)   →   ln y = ln(1+x)x   (forma 0/0)
L'Hôpital: lim ln(1+x)x = lim 1/(1+x)1 = 1
Logo lim y = e¹ = e
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Interativo

Visualizador de Limites

Selecione uma das funções clássicas e veja graficamente como o limite se comporta perto do ponto indeterminado.