Geometria · Proporcionalidade · Semelhança
Teorema de Tales
A primeira grande descoberta da geometria — paralelas que dividem lados de triângulos em partes proporcionais, base de toda a teoria da semelhança.
e intersecta os outros dois lados, então os divide
nas mesmas proporções:
AM/MB = AN/NC
O Teorema e suas formas
Em um triângulo ABC, se uma reta MN é paralela ao lado BC e intersecta AB em M e AC em N, então:
Uma forma mais geral: se três retas paralelas são cortadas por duas transversais, as razões entre os segmentos correspondentes são iguais:
onde a, b, c e a', b', c' são os segmentos determinados pelas paralelas em cada transversal.
Tales é considerado o primeiro filósofo e matemático do mundo ocidental. Conta-se que mediu a altura da Grande Pirâmide comparando a sombra dela com a sombra de um bastão vertical — aplicando diretamente o teorema que hoje leva seu nome.
Prova por Áreas
A demonstração mais elegante usa a relação entre áreas de triângulos com mesma altura.
- Triângulos BMN e CMN têm a mesma área.
Ambos têm base MN. Como MN ∥ BC, a distância de B à reta MN é igual à distância de C à reta MN. Logo: [BMN] = [CMN]. - Comparar áreas com M como vértice comum:
[AMN]/[BMN] = AM/MB (mesma altura, bases AM e MB)
[AMN]/[CMN] = AN/NC (mesma altura, bases AN e NC) - Usar [BMN] = [CMN]:[AMN]/[BMN] = [AMN]/[CMN] ⟹ AM/MB = AN/NC ∎
Triângulos Semelhantes
O Teorema de Tales é a base da teoria da semelhança de triângulos. Dois triângulos são semelhantes (△ABC ∼ △DEF) quando:
| Critério | Condição |
|---|---|
| AA (Ângulo-Ângulo) | Dois pares de ângulos iguais |
| LAL (Lado-Ângulo-Lado) | Ângulo igual entre lados proporcionais |
| LLL (Lado-Lado-Lado) | Três pares de lados proporcionais |
A demonstração mais elegante do Teorema de Pitágoras usa semelhança de triângulos! Ao traçar a altura h relativa à hipotenusa em um triângulo retângulo, obtemos três triângulos semelhantes — e a² + b² = c² emerge diretamente das proporções de Tales.
Visualização das Proporções
Arraste o slider para mover a reta MN paralela a BC e veja as proporções AM/MB e AN/NC se manterem iguais.
Usos do Teorema de Tales
Para dividir um segmento AB em 5 partes iguais: traçar um raio a partir de A, marcar 5 pontos igualmente espaçados, ligar o último ao ponto B, e traçar paralelas — Tales garante que AB é dividido em partes iguais.
Mapas e plantas arquitetônicas usam Tales: a razão entre distâncias no mapa e no terreno é constante em todas as direções — princípio direto da semelhança de figuras que Tales fundamenta.
A formação de imagens em câmeras e no olho humano obedece aos triângulos semelhantes de Tales: objeto/imagem = distância ao foco / distância focal. A fórmula dos fabricantes de câmera 1/f = 1/do + 1/di é uma forma direta das proporções de Tales.